Um aluno fez uma suposição de um método que busca determinar o valor de dois números, quando conhecido o resultado do seu produto e o mdc entre ele...
Aritmética
Questões Para a Compreensão

Question

Um aluno fez uma suposição de um método que busca determinar o valor de dois números, quando conhecido o resultado do seu produto e o mdc entre eles. Basicamente, o método consiste em observar a decomposição em fatores primos do resultado apresentado pela multiplicação. Percebendo que o método realmente estava correto, o professor questionou o aluno sobre o seguinte problema: "Sabendo que o produto de dois números com dois algarismos é 1944 e que o mdc entre eles é 18, quais seriam estes números?". Sobre este questionamento, analise as afirmativas a seguir:

I- Um dos números é um quadrado perfeito.
II- Os números são divisíveis também pelo 12.
III- Ambos os números são pares.
IV- O módulo da diferença entre eles é 18.

Assinale a alternativa CORRETA:

A As afirmativas I, III e IV estão corretas.

B As afirmativas I e II estão corretas.

C As afirmativas I, II e IV estão corretas.

D As afirmativas II e III estão corretas.

Um dos números é um quadrado perfeito.
Os números são divisíveis também pelo 12.
Ambos os números são pares.
O módulo da diferença entre eles é 18.
A As afirmativas I, III e IV estão corretas.
B As afirmativas I e II estão corretas.
C As afirmativas I, II e IV estão corretas.
D As afirmativas II e III estão corretas.

Ed · Answer

O método mencionado pelo aluno é conhecido como "fatoração de inteiros". Para resolver o problema proposto pelo professor, podemos utilizar a fatoração do número 1944 em fatores primos: 1944 = 2^3 x 3^5. Como o mdc entre os dois números é 18, podemos escrevê-los na forma a = 2^m x 3^n x k e b = 2^p x 3^q x l, onde k e l são primos entre si e m + p = 3 e n + q = 5. Além disso, o mdc entre a e b é 2^min(m,p) x 3^min(n,q) x mdc(k,l), que deve ser igual a 18. Portanto, m e n devem ser iguais a 1 e 2, respectivamente, e p e q devem ser iguais a 2 e 3, respectivamente. Assim, a = 2 x 3^2 x k e b = 2^2 x 3^3 x l, onde k e l são primos entre si. Podemos verificar que as afirmativas I, II e IV estão corretas, portanto a alternativa correta é a letra C.

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