Um aluno fez uma suposição de um método que busca determinar o valor de dois números, quando conhecido o resultado do seu produto e o mdc entre eles. Basicamente, o método consiste em observar a decomposição em fatores primos do resultado apresentado pela multiplicação. Percebendo que o método realmente estava correto, o professor questionou o aluno sobre o seguinte problema: "Sabendo que o produto de dois números com dois algarismos é 1944 e que o mdc entre eles é 18, quais seriam estes números?". Sobre este questionamento, analise as afirmativas a seguir:

I- Um dos números é um quadrado perfeito.
II- Os números são divisíveis também pelo 12.
III- Ambos os números são pares.
IV- O módulo da diferença entre eles é 18.

Assinale a alternativa CORRETA:

A As afirmativas I, III e IV estão corretas.

B As afirmativas I, II e IV estão corretas.

C As afirmativas I e II estão corretas.

D As afirmativas II e III estão corretas.

Um dos números é um quadrado perfeito.
Os números são divisíveis também pelo 12.
Ambos os números são pares.
O módulo da diferença entre eles é 18.
A As afirmativas I, III e IV estão corretas.
B As afirmativas I, II e IV estão corretas.
C As afirmativas I e II estão corretas.
D As afirmativas II e III estão corretas.

Question

Um aluno fez uma suposição de um método que busca determinar o valor de dois números, quando conhecido o resultado do seu produto e o mdc entre ele...

Ed · Answer

Vamos analisar cada afirmativa com base nas informações fornecidas:

1. **Produto dos números**: 1944
2. **MDC dos números**: 18

Primeiro, vamos encontrar os dois números. Sabemos que, se o MDC é 18, podemos expressar os números como:
- $ a = 18m $
- $ b = 18n $

onde $ m $ e $ n $ são coprimos (ou seja, $ MDC(m, n) = 1 $).

O produto dos números é:
$$ a \cdot b = (18m) \cdot (18n) = 324mn $$

Assim, temos:
$$ 324mn = 1944 $$
$$ mn = \frac{1944}{324} = 6 $$

Agora, as combinações de $ m $ e $ n $ que são coprimos e cujo produto é 6 são:
- $ (1, 6) $
- $ (2, 3) $

Portanto, os números $ a $ e $ b $ podem ser:
- Para $ (1, 6) $: $ a = 18 \cdot 1 = 18 $ e $ b = 18 \cdot 6 = 108 $
- Para $ (2, 3) $: $ a = 18 \cdot 2 = 36 $ e $ b = 18 \cdot 3 = 54 $

Agora, vamos analisar as afirmativas:

I- Um dos números é um quadrado perfeito. 
- **Falso**: 18, 108, 36 e 54 não são quadrados perfeitos.

II- Os números são divisíveis também pelo 12.
- **Verdadeiro**: 36 e 54 são divisíveis por 12.

III- Ambos os números são pares.
- **Verdadeiro**: 36 e 54 são pares.

IV- O módulo da diferença entre eles é 18.
- **Verdadeiro**: A diferença entre 36 e 54 é 18.

Agora, vamos verificar as alternativas:

A) As afirmativas I, III e IV estão corretas. **(FALSO)**
B) As afirmativas I, II e IV estão corretas. **(FALSO)**
C) As afirmativas I e II estão corretas. **(FALSO)**
D) As afirmativas II e III estão corretas. **(VERDADEIRO)**

Portanto, a alternativa correta é: **D) As afirmativas II e III estão corretas.**

Ed · Answer

O método mencionado pelo aluno é o Teorema Fundamental da Aritmética. Para resolver o problema proposto pelo professor, podemos utilizar a decomposição em fatores primos do número 1944, que é igual a 2^3 x 3^5. Como o mdc entre os dois números é 18, podemos escrevê-los como 18a e 18b, onde a e b são primos entre si. Além disso, sabemos que ab = 2^3 x 3^5 / 18 = 2^2 x 3^4. Como a e b são primos entre si, cada um deles deve conter apenas alguns dos fatores primos de ab. Como um dos números é um quadrado perfeito, ele deve conter apenas os fatores primos que aparecem em ab em quantidade par. Portanto, a decomposição em fatores primos de a e b deve ser 2^2 x 3^m e 2 x 3^n, respectivamente, onde m + n = 4. Além disso, ambos os números são pares, o que implica que n = 1. Finalmente, como ab é divisível por 12, a e b devem ser divisíveis por 2 e 3. Assim, a resposta correta é a alternativa B: As afirmativas I, II e IV estão corretas.

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