João está participando de uma olimpíada de matemática, na qual uma das questões a ser resolvida é a congruência linear 3x ≡ 6 (mod 18). Ele já encontrou o mdc 3 e do 18, portanto, sabe que a congruência tem exatamente 3 soluções particulares.

Assinale a alternativa que apresenta as possibilidades de x na congruência apresentada.

A 3.
B 2.
C 1.
D Nenhuma.

Question

João está participando de uma olimpíada de matemática, na qual uma das questões a ser resolvida é a congruência linear 3x ≡ 6 (mod 18). Ele já enco...

Ed · Answer

Para resolver a congruência linear $3x \equiv 6 \, (\text{mod} \, 18)$, primeiro, podemos simplificar a congruência dividindo todos os termos pelo máximo divisor comum (mdc) que é 3:

$$
x \equiv 2 \, (\text{mod} \, 6)
$$

Agora, essa congruência $x \equiv 2 \, (\text{mod} \, 6)$ nos dá as soluções:

$$
x = 2 + 6k \quad \text{para } k \in \mathbb{Z}
$$

As soluções dentro do intervalo de 0 a 17 (já que estamos trabalhando com módulo 18) são:

- Para $k = 0$: $x = 2$
- Para $k = 1$: $x = 8$
- Para $k = 2$: $x = 14$

Portanto, as soluções são $x = 2, 8, 14$. Isso confirma que existem 3 soluções.

Analisando as alternativas:
A) 3 - Correto, pois existem 3 soluções.
B) 2 - Incorreto.
C) 1 - Incorreto.
D) Nenhuma - Incorreto.

A alternativa correta é: **A) 3.**

Ed · Answer

Para resolver a congruência linear 3x ≡ 6 (mod 18), podemos dividir ambos os lados por 3, obtendo x ≡ 2 (mod 6). Como o mdc(3, 18) = 3, sabemos que a congruência tem exatamente 3 soluções particulares.

Podemos encontrar as soluções particulares adicionando múltiplos de 6 a 2, já que 6 é o módulo da congruência. Portanto, as possibilidades de x na congruência apresentada são:

A) 3 soluções.
B) 2 soluções.
C) 1 solução.
D) Nenhuma solução.

A resposta correta é a letra C, pois a congruência tem exatamente uma solução única.

Matemática

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