Considere a equação tan2 ???? = 1/3. Para ???? ∈ [0, 2????], resolva a equação e represente as soluções no círculo trigonométrico. Encontrar as soluções...

Para resolver a equação tan²x = 1/3, podemos utilizar a identidade trigonométrica: tan²x + 1 = sec²x Substituindo o valor de 1/3 na equação, temos: tan²x + 1 = sec²x tan²x + 1 = 1/cos²x tan²x = 1/cos²x - 1 tan²x = (1 - cos²x)/cos²x tan²x = sen²x/cos²x Aplicando a raiz quadrada em ambos os lados, temos: tanx = ± senx/cosx Sabemos que a tangente é positiva nos quadrantes I e III, e negativa nos quadrantes II e IV. Além disso, temos que: tanx = senx/cosx Podemos utilizar a tabela trigonométrica para encontrar os valores de seno e cosseno para cada quadrante. Para o quadrante I, temos: tanx = senx/cosx 1/√3 = senx/cosx senx = cosx/√3 Utilizando o teorema de Pitágoras, temos: sen²x + cos²x = 1 cos²x/3 + cos²x = 1 4cos²x/3 = 1 cos²x = 3/4 cosx = ±√3/2 Portanto, as soluções para o quadrante I são: x = arctan(1/√3) e x = arctan(-1/√3) Para o quadrante III, temos: tanx = senx/cosx -1/√3 = senx/cosx senx = -cosx/√3 Utilizando o teorema de Pitágoras, temos: sen²x + cos²x = 1 cos²x/3 + cos²x = 1 4cos²x/3 = 1 cos²x = 3/4 cosx = ±√3/2 Portanto, as soluções para o quadrante III são: x = arctan(-1/√3) e x = arctan(1/√3) As soluções para a equação tan²x = 1/3 no intervalo [0, 2π] são: x = arctan(1/√3), x = arctan(-1/√3), x = π + arctan(1/√3) e x = π + arctan(-1/√3) Para representar as soluções no círculo trigonométrico, podemos utilizar a tabela trigonométrica para encontrar os valores de seno e cosseno para cada ângulo encontrado. Em seguida, marcamos os pontos correspondentes no círculo trigonométrico.