PC_2018-1_AP2_GABARITO

Prévia do material em texto

AP2 – 2018-1 Gabarito Pré-Cálculo 
Página 1 de 3 
 
CEDERJ 
Gabarito da Avaliação Presencial 2 
Pré-Cálculo 
________________________________________________________________________________________ 
Questão 1 [1,2] Considere a equação tan2 𝑥 =
1
3
. 
Para 𝑥 ∈ [0, 2𝜋], resolva a equação e represente as soluções no círculo trigonométrico. 
RESOLUÇÃO 
tan2 𝑥 =
1
3
 ⟺ tan 𝑥 = ±
1
√3
= ±
√3
3
 . 
No círculo trigonométrico estão representados os valores da tangente de 
ângulos notáveis, onde dois deles são os que precisamos para resolver a 
equação, 
√3
3
 e −
√3
3
. 
Observando o círculo concluímos que são quatro soluções para 𝑥 ∈ [0, 2𝜋]: 
𝑥1 =
𝜋
6
 , 𝑥2 = 𝜋 −
𝜋
6
=
5𝜋
6
 , 𝑥3 = 𝜋 +
𝜋
6
=
7𝜋
6
 , 𝑥4 = 2𝜋 −
𝜋
6
=
11𝜋
6
 . 
Representando a solução em forma de conjunto, 𝑆 = {
𝜋
6
,
5𝜋
6
,
7𝜋
6
,
11𝜋
6
}. 
________________________________________________________________________________________ 
Questão 2 [1,0] Considere −
𝜋
2
≤ 𝑥 ≤
𝜋
2
 e resolva a inequação 0 ≤ cos𝑥 ≤
1
2
. Justifique! 
RESOLUÇÃO 
No círculo trigonométrico estão representados os valores do cosseno e os 
correspondentes ângulos notáveis no intervalo [−
𝜋
2
,
𝜋
2
]. 
Do círculo podemos concluir a solução: 
𝜋
3
≤ 𝑥 ≤
𝜋
2
 ou −
𝜋
2
≤ 𝑥 ≤ −
𝜋
3
 
________________________________________________________________________________________ 
Questão 3 [1,0] Calcule 3 arcsen (−
√3
2
) + 12 arccos (
 1 
2
). Mostre os cálculos com as devidas 
justificativas. 
RESOLUÇÃO 
Temos que: 
arccos (
1
2
) =
𝜋
3
 , pois cos (
𝜋
3
) =
1
2
 e 
𝜋
3
∈ [0, 𝜋], que é o intervalo de inversão da função 𝑦 = cos (𝑥). 
arcsen (−
√3
2
) = −
𝜋
3
 , pois sen (−
𝜋
3
) = −sen (
𝜋
3
) = −
√3
2
 e −
𝜋
3
∈ [−𝜋 , 𝜋], que é o intervalo de 
inversão da função 𝑦 = sen (𝑥). 
Portanto, 3 arcsen (−
√3
2
) + 12 arccos (
 1 
2
) = 3 ∙ (−
𝜋
3
) + 12 ∙
𝜋
3
= −𝜋 + 4𝜋 = 3𝜋 
________________________________________________________________________________________ 
 
AP2 – 2018-1 Gabarito Pré-Cálculo 
Página 2 de 3 
 
Nas questões (4) a (6) considere a função ℎ(𝑥) = 𝑥
3
7 . 
Questão 4 [0,3] Determine, justificando, o domínio da função ℎ. 
RESOLUÇÃO 
ℎ(𝑥) = 𝑥
3
7 = √𝑥3 
7
, como o índice da raiz é ímpar, não há restrição para o radicando 𝑥3 e, portanto, não há 
restrição para 𝑥. Portanto, 𝐷𝑜𝑚(ℎ) = (−∞,∞) = ℝ . 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Questão 5 [0,7] Dê a paridade da função ℎ . Para justificar a paridade, use as duas condições da definição 
de função PAR e de função ÍMPAR. Na segunda condição, considere qualquer 𝑥 do domínio da função, não 
basta verificar em um ou dois valores numéricos do domínio. 
RESOLUÇÃO 
𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(ℎ) = (−∞,∞) ⟺ −𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(ℎ) = (−∞,∞). 
Assim, 𝐷𝑜𝑚(ℎ) é simétrico em relação à origem 0 da reta numérica. Portanto, a função ℎ satisfaz a 
primeira condição da definição de função par ou de função ímpar. 
ℎ(−𝑥) = √(−𝑥)3 
7
 = √−𝑥3 
7
= −√𝑥3 
7
= −ℎ(𝑥) para ∀ 𝑥 ∈ ℝ . Assim, a função ℎ satisfaz a segunda 
condição da definição de função ímpar. Portanto a função ℎ é ÍMPAR. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Questão 6 [0,8] Esboce os gráficos das funções ℎ , 𝑦 = 𝑥 , 𝑦 = −𝑥 , em um único sistema de 
coordenadas. O gráfico da função ℎ tem simetria? Em caso afirmativo, em relação a que reta ou ponto? 
Justifique! 
RESOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
O gráfico da função ℎ é simétrico com relação à origem . Isto pode ser observado pelo gráfico e também 
lembrando que isso é uma característica das funções ímpares. 
________________________________________________________________________________________ 
Nas questões (7) e (8), considere 𝑓(𝑥) = ln (
 𝑥+2 
𝑥2
). 
Questão 7 [1,3] Determine o domínio da função 𝑦 = 𝑓(𝑥). Escreva a resposta na forma de intervalo ou 
união de intervalos disjuntos. Mostre os cálculos com as devidas justificativas. 
RESOLUÇÃO 
AP2 – 2018-1 Gabarito Pré-Cálculo 
Página 3 de 3 
 
Domínio: 
 𝑥+2 
𝑥2
> 0 𝑒 𝑥 ≠ 0 
Como 𝑥2 > 0 para todo 𝑥 ≠ 0 então 
 𝑥+2 
𝑥2
> 0 ⟺ 𝑥 + 2 > 0 𝑒 𝑥 ≠ 0 ⟺ 𝑥 > −2 𝑒 𝑥 ≠ 0 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = (−2 , 0) ∪ (0 ,∞) 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Questão 8 [1,2] Resolva a equação 𝑓(𝑥) = ln (
 𝑥+2 
𝑥2
) = 0 para encontrar os pontos de interseção do 
gráfico da função 𝑓 com o eixo 𝑥. Quais são esses pontos? Mostre os cálculos com as devidas justificativas. 
O gráfico da função 𝑓 corta ou toca o eixo 𝑦 ? Explique. 
RESOLUÇÃO 
O gráfico da função 𝑓 não corta o eixo 𝒚 , pois 𝑥 = 0 ∉ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) e os pontos do eixo 𝑦 são da forma 
(0 , 𝑏) , 𝑏 ∈ ℝ. 
Interseção com o eixo 𝒙 
ln (
 𝑥 + 2 
𝑥2
) = 0 ⟺ 
 𝑥 + 2 
𝑥2
= 1 ⟺ 𝑥 + 2 − 𝑥2 = 0 𝑒 𝑥 ≠ 0 ⟺ 𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0 𝑒 𝑥 ≠ 0 ⟺ 
1±√(−1)2−4∙1∙(−2)
2
 = 
1±√9
2
 = 
1±3
2
 
𝑥 = 2 𝑜𝑢 𝑥 = −1. O gráfico da função 𝑓 corta o eixo 𝑥 nos pontos (−1 , 0) e (2 , 0) . 
________________________________________________________________________________________ 
Nas questões (9) e (10) considere g(𝑥) = 2𝑒𝑥 − 3. 
Questão 9 [0,8] Resolva a equação 𝑔(𝑥) = 0 e resolva a inequação 𝑔(𝑥) > 0. 
RESOLUÇÃO 
2𝑒𝑥 − 3 = 0 ⟺ 2𝑒𝑥 = 3 ⟺ 𝑒𝑥 =
3
2
 ⟺ 𝑥 = ln
3
2
 . 
2𝑒𝑥 − 3 > 0 ⟺ 2𝑒𝑥 > 3 ⟺ 𝑒𝑥 >
3
2
 ⟺ 𝑥 > ln
3
2
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
Questão 10 [1,7] Partindo do gráfico de 𝑦 = 𝑒𝑥, aplique transformações (translações, simetrias, 
ampliações, ...) e esboce o gráfico da função 𝒚 = 𝒈(𝒙). Descreva as transformações que usou. Se existirem, 
indique as interseções do gráfico com os eixos coordenados. Justifique a interseção com o eixo 𝑦! Observando 
o gráfico esboçado, encontre a imagem da função 𝑦 = 𝑔(𝑥). 
RESOLUÇÃO 
Interseção com o eixo 𝑥: pela solução da equação da questão 9, 𝑥 = ln
3
2
. 
Interseção com o eixo 𝑦: fazendo 𝑥 = 0, 𝑔(0) = 2𝑒0 − 3 = 2 ∙ 1 − 3 = −1, logo 𝑦 = −1. 
 
 
 
𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙,
𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎çã𝑜 2
𝑒
𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑙𝑎çã𝑜 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙,
3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜 
→ 
 
Obs. para todo 𝑥 ∈ ℝ, 𝑦 = 𝑒𝑥 > 0 ⟹ 𝑦 = 2𝑒𝑥 > 0 ⟹ 𝑦 = 2𝑒𝑥 − 3 > −3. 
Pelo gráfico da função, 𝐼𝑚(𝑔) = (−3,∞).