Para que o sistema linear x + y + az = 1, x + 2y + z = 2 e 2x + 5y + 3z = b, seja possível e indeterminado, o valor de a + b é igual a: a) 10 b) ...

Para que o sistema seja possível e indeterminado, é necessário que a matriz dos coeficientes seja equivalente a uma matriz escalonada com uma linha nula e que o determinante da matriz dos coeficientes seja igual a zero. Assim, temos: \begin{equation} \begin{bmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 3 \end{bmatrix} \end{equation} Aplicando operações elementares de linha, temos: \begin{equation} \begin{bmatrix} 1 & 1 & a \\ 0 & 1 & 1-a \\ 0 & 0 & 2a-1 \end{bmatrix} \end{equation} Para que a matriz seja equivalente a uma matriz escalonada com uma linha nula, é necessário que $2a-1=0$, ou seja, $a=\frac{1}{2}$. Para que o sistema seja possível e indeterminado, é necessário que o determinante da matriz dos coeficientes seja igual a zero. Assim, temos: \begin{equation} \begin{vmatrix} 1 & 1 & \frac{1}{2} \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 3 \end{vmatrix} = \frac{1}{2} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 3 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} + \frac{1}{2} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = 0 \end{equation} Resolvendo as determinantes, temos: \begin{equation} \frac{1}{2}(3-10) - (3-2) + \frac{1}{2}(5-2) = 0 \end{equation} Portanto, $a=\frac{1}{2}$ e o sistema é possível e indeterminado para qualquer valor de $b$. Assim, $a+b=\frac{1}{2}+b$, e não há uma única resposta para $a+b$. Portanto, a alternativa correta é a letra E) 14.