12. (Ufu 2021) Um cone reto está inscrito num cubo de lado , de modo que a base do cone esteja contida numa face do cubo, e uma esfera de raio R ...

Para resolver essa questão, podemos utilizar a relação entre as medidas do cone, da esfera e do cubo. Sabemos que a base do cone está contida em uma das faces do cubo, portanto, a medida da diagonal do cubo é igual ao dobro da medida da altura do cone. Além disso, a esfera está inscrita no cone, ou seja, o diâmetro da esfera é igual à medida da altura do cone. Assim, podemos escrever a seguinte relação: 2l = 2R Onde l é a medida da diagonal do cubo e R é o raio da esfera. Sabemos também que a diagonal do cubo é igual a l√2, e que o lado do cubo é igual a l/√2. Substituindo essas informações na equação anterior, temos: 2(l/√2) = 2R l = R√2 Substituindo novamente na equação da diagonal do cubo, temos: l√2 = L R√2√2 = L R = L/2 Agora, podemos substituir o valor de R em uma das alternativas e verificar qual delas é igual a L/2. a) 5/4 - √2 R = (5/4 - √2)L L/2 = (5/4 - √2)L 1/2 = 5/4 - √2 √2 = 3/4 O valor de √2 não é igual a 3/4, portanto, a alternativa A está incorreta. b) 5/4 + √2 R = (5/4 + √2)L L/2 = (5/4 + √2)L -3/4 = 5/4 + √2 O valor de √2 não é igual a -5/4, portanto, a alternativa B está incorreta. c) (5√2 - 1)π R = (5√2 - 1)πL L/2 = (5√2 - 1)πL 1/2 = 5√2 - 1 √2 = 3/5 Substituindo o valor de R na equação, temos: R = (5√2 - 1)π(L/2) R = (5√2 - 1)πR√2 R(1 - (5√2 - 1)π√2) = 0 O valor de R não pode ser igual a zero, portanto, a alternativa C está incorreta. d) (5√2 + 1)π R = (5√2 + 1)πL L/2 = (5√2 + 1)πL -1/2 = 5√2 + 1 √2 = -3/5 O valor de √2 não é igual a -3/5, portanto, a alternativa D está incorreta. Assim, a alternativa correta é a letra B) 5/4 + √2.