15. (Ufjf-pism 2 2021) Dois triângulos, ACB e ADC, compartilham a mesma base AC. Sabe-se as medidas dos ângulos ∠ACB = 32°, ∠CBA = 58° e ∠ADC = 70...

Para encontrar o comprimento de AB, podemos usar a Lei dos Cossenos no triângulo ACB: AB² = AC² + BC² - 2(AC)(BC)cos(∠ACB) Substituindo os valores conhecidos, temos: AB² = AC² + BC² - 2(AC)(BC)cos(32°) Também podemos usar a semelhança de triângulos ADC e ACB para encontrar o comprimento de BC em termos de AD: BC/AC = BC/(BC + AD) = AC/AD BC = (AC²/AD) - AC Substituindo o valor de BC na equação anterior, temos: AB² = AC² + ((AC²/AD) - AC)² - 2(AC)((AC²/AD) - AC)cos(32°) Simplificando a equação, temos: AB² = AC²(AD² + 1 - 2ADcos(32°)) / AD² Agora, podemos substituir o valor de AD/DC = 10 para encontrar AC/DC: AC/DC = AC/AC + DC = AB/DC AC/10 = AB/DC AC = 10AB/DC Substituindo o valor de AC na equação anterior, temos: AB² = (100AB²/DC²)(DC² + 1 - 20cos(32°)) / 100 Simplificando a equação, temos: AB² = AB²(DC² + 1 - 20cos(32°)) / 100 100 = DC² + 1 - 20cos(32°) DC² = 99 + 20cos(32°) Agora, podemos usar a tangente de 58° para encontrar o valor de α: tan(58°) = BC/AC BC = ACtan(58°) BC = (10AB/DC)tan(58°) BC = (10AB/√(99 + 20cos(32°)))tan(58°) cos(55°) = α/√(1 + α²) α²cos²(55°) + α² = 1 + α² α² = 1 / (1 + cos²(55°)) α = √(1 / (1 + cos²(55°))) Agora, podemos usar o valor de α e o valor de β = tan(58°) para encontrar a resposta correta: a) 20αβ = 20(√(1 / (1 + cos²(55°))))(BC/AC) = 20(√(1 / (1 + cos²(55°))))((10AB/√(99 + 20cos(32°)))tan(58°)) = 20ABtan(58°)√((1 / (1 + cos²(55°))))(10 / √(99 + 20cos(32°))) = aproximadamente 3,77AB b) 20(α - β) = 20(√(1 / (1 + cos²(55°)))) - tan(58°)) = aproximadamente -0,12 c) 20α/β = 20(√(1 / (1 + cos²(55°))))/(BC/AC) = 20(√(1 / (1 + cos²(55°))))/(10AB/√(99 + 20cos(32°))) = aproximadamente 0,38AB d) 20(α/β - 1) = 20((√(1 / (1 + cos²(55°))))/(BC/AC) - 1) = aproximadamente -0,62 e) 20αβ/(α + β) = 20(√(1 / (1 + cos²(55°))))(BC/AC)/((√(1 / (1 + cos²(55°)))) + tan(58°)) = 20(√(1 / (1 + cos²(55°))))((10AB/√(99 + 20cos(32°)))tan(58°))/((√(1 / (1 + cos²(55°)))) + tan(58°)) = aproximadamente 3,77AB/(√((1 / (1 + cos²(55°)))) + tan(58°))) = aproximadamente 1,89AB Portanto, a resposta correta é a alternativa (a) 20αβ = aproximadamente 3,77AB.