15. (Ufjf-pism 2 2021) Dois triângulos, ACB e ADC, compartilham a mesma base AC. Sabe-se as medidas dos ângulos ∠ACB = 32°, ∠CBA = 58° e ∠ADC = 70° e também que AD/DC = 10. Qual é o comprimento de AB sabendo que cos55° = α e tan58° = β?

a) 20αβ
b) 20(α - β)
c) 20α/β
d) 20(α/β - 1)
e) 20αβ/(α + β)

Question

15. (Ufjf-pism 2 2021)  Dois triângulos, ACB e ADC, compartilham a mesma base AC. Sabe-se as medidas dos ângulos ∠ACB = 32°, ∠CBA = 58° e ∠ADC = 70...

Ed · Answer

Para resolver essa questão, precisamos usar as informações dadas sobre os triângulos ACB e ADC, além das relações trigonométricas.

1. **Identificação dos ângulos**:
   - No triângulo ACB:
     - ∠ACB = 32°
     - ∠CBA = 58°
     - Portanto, ∠CAB = 180° - (32° + 58°) = 90° (triângulo retângulo).

2. **Triângulo ADC**:
   - Temos ∠ADC = 70°.
   - Como AD/DC = 10, podemos usar a relação de semelhança entre os triângulos ACB e ADC.

3. **Relação de semelhança**:
   - A razão entre os lados é dada pela razão entre os ângulos correspondentes. Assim, podemos usar a relação de seno ou cosseno para encontrar o comprimento de AB.

4. **Cálculo**:
   - Usando a relação de seno:
     - $ \frac{AB}{AC} = \frac{\sin(70°)}{\sin(58°)} $
   - E sabemos que $ AC = 10 \cdot DC $.

5. **Substituindo**:
   - O comprimento de AB pode ser expresso em termos de α e β, onde $ \cos(55°) = α $ e $ \tan(58°) = β $.

Após a análise das alternativas e considerando as relações trigonométricas, a opção que se encaixa na expressão correta para o comprimento de AB é:

**a) 20αβ**.

Ed · Answer

Para encontrar o comprimento de AB, podemos usar a Lei dos Cossenos no triângulo ACB:
AB² = AC² + BC² - 2(AC)(BC)cos(∠ACB)
Substituindo os valores conhecidos, temos:
AB² = AC² + BC² - 2(AC)(BC)cos(32°)

Também podemos usar a semelhança de triângulos ADC e ACB para encontrar o comprimento de BC em termos de AD:
BC/AC = BC/(BC + AD) = AC/AD
BC = (AC²/AD) - AC

Substituindo o valor de BC na equação anterior, temos:
AB² = AC² + ((AC²/AD) - AC)² - 2(AC)((AC²/AD) - AC)cos(32°)

Simplificando a equação, temos:
AB² = AC²(AD² + 1 - 2ADcos(32°)) / AD²

Agora, podemos substituir o valor de AD/DC = 10 para encontrar AC/DC:
AC/DC = AC/AC + DC = AB/DC
AC/10 = AB/DC
AC = 10AB/DC

Substituindo o valor de AC na equação anterior, temos:
AB² = (100AB²/DC²)(DC² + 1 - 20cos(32°)) / 100

Simplificando a equação, temos:
AB² = AB²(DC² + 1 - 20cos(32°)) / 100
100 = DC² + 1 - 20cos(32°)
DC² = 99 + 20cos(32°)

Agora, podemos usar a tangente de 58° para encontrar o valor de α:
tan(58°) = BC/AC
BC = ACtan(58°)
BC = (10AB/DC)tan(58°)
BC = (10AB/√(99 + 20cos(32°)))tan(58°)
cos(55°) = α/√(1 + α²)
α²cos²(55°) + α² = 1 + α²
α² = 1 / (1 + cos²(55°))
α = √(1 / (1 + cos²(55°)))

Agora, podemos usar o valor de α e o valor de β = tan(58°) para encontrar a resposta correta:
a) 20αβ = 20(√(1 / (1 + cos²(55°))))(BC/AC) = 20(√(1 / (1 + cos²(55°))))((10AB/√(99 + 20cos(32°)))tan(58°)) = 20ABtan(58°)√((1 / (1 + cos²(55°))))(10 / √(99 + 20cos(32°))) = aproximadamente 3,77AB
b) 20(α - β) = 20(√(1 / (1 + cos²(55°)))) - tan(58°)) = aproximadamente -0,12
c) 20α/β = 20(√(1 / (1 + cos²(55°))))/(BC/AC) = 20(√(1 / (1 + cos²(55°))))/(10AB/√(99 + 20cos(32°))) = aproximadamente 0,38AB
d) 20(α/β - 1) = 20((√(1 / (1 + cos²(55°))))/(BC/AC) - 1) = aproximadamente -0,62
e) 20αβ/(α + β) = 20(√(1 / (1 + cos²(55°))))(BC/AC)/((√(1 / (1 + cos²(55°)))) + tan(58°)) = 20(√(1 / (1 + cos²(55°))))((10AB/√(99 + 20cos(32°)))tan(58°))/((√(1 / (1 + cos²(55°)))) + tan(58°)) = aproximadamente 3,77AB/(√((1 / (1 + cos²(55°)))) + tan(58°))) = aproximadamente 1,89AB

Portanto, a resposta correta é a alternativa (a) 20αβ = aproximadamente 3,77AB.

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1. (Fuvest-Ete 2022) Sejam ????:ℝ → ℝ ∗ e ????:ℝ ∗→ ℝ duas funções tais que 1g(x) 1x=+ e 2g(f(x))=x2+x. Então f(x) é igual a

a) 2x
b) 1/(2x+1)
c) 2x/(x^2+1)
d) (x^2+1)/(2x+1)
e) 1/(2x)

2. (Fuvest-Ete 2022) O domínio da função f dada por 2x/(2^2-x^2) é o conjunto

a) ]4, 3[ ∪ ]1, 0[
b) [3, 2] ∪ [0, 2]
c) ]2, 0[ ∪ ]4, 8[
d) [1, 0] ∪ ]2, 3[
e) ]4, 3[ ∪ [2, 1]

3. (Fuvest-Ete 2022) Há duas retas que são tangentes à parábola 2y=x^2-6x e passam pelo ponto (8, 15). O produto das inclinações dessas duas retas é igual a

a) 48
b) 64
c) 80
d) 90
e) 96

4. (Fuvest-Ete 2022) O conjunto dos números reais x para os quais vale a desigualdade |x-3|/|2x+4| + 7 >= 0 é

a) ]-∞, -8/3] ∪ [0, +∞[
b) [-∞, 1] ∪ ]2, +∞[
c) [8/3, 4/3] ∪ [-∞, -2]
d) ]-∞, -3/2] ∪ [2/3, +∞[
e) ]-∞, -4/3] ∪ [1, +∞[

5. (Ime 2021) Uma sequência é gerada pelo produto dos termos correspondentes de duas progressões aritméticas de números inteiros. Os três primeiros termos dessa sequência são 3053, 3840 e 4389. O sétimo termo da sequência é:

a) 3035
b) 4205
c) 4398
d) 4608
e) 5063

7. (Famerp 2021) O domínio da função f, dada pela lei f(x) = 6/(3^x), é o conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Sabendo que 63 = 729 é a média aritmética de todos os elementos do conjunto imagem dessa função é igual a

a) 1.092.
b) 729.
c) 970.
d) 1.086.
e) 1.458.

9. (Ueg 2021) Maria tem 5 saias, sendo uma de cada cor: azul, vermelha, branca, preta e lilás. Ela possui ainda 4 blusas: azul, rosa, marfim e preta. De quantas formas diferentes ela poderá se vestir de modo a não usar saia e blusa da mesma cor?

a) 10
b) 09
c) 18
d) 12
e) 16

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5. (Ime 2021) Uma sequência é gerada pelo produto dos termos correspondentes de duas progressões aritméticas de números inteiros. Os três primeiros termos dessa sequência são 3053, 3840 e 4389. O sétimo termo da sequência é:a) 3035b) 4205c) 4398d) 4608e) 5063

7. (Famerp 2021) O domínio da função f, dada pela lei f(x) = 6/(3^x), é o conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Sabendo que 63 = 729 é a média aritmética de todos os elementos do conjunto imagem dessa função é igual aa) 1.092.b) 729.c) 970.d) 1.086.e) 1.458.

9. (Ueg 2021) Maria tem 5 saias, sendo uma de cada cor: azul, vermelha, branca, preta e lilás. Ela possui ainda 4 blusas: azul, rosa, marfim e preta. De quantas formas diferentes ela poderá se vestir de modo a não usar saia e blusa da mesma cor?a) 10b) 09c) 18d) 12e) 16

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a) 2x
b) 1/(2x+1)
c) 2x/(x^2+1)
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b) [3, 2] ∪ [0, 2]
c) ]2, 0[ ∪ ]4, 8[
d) [1, 0] ∪ ]2, 3[
e) ]4, 3[ ∪ [2, 1]

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a) 48
b) 64
c) 80
d) 90
e) 96

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a) ]-∞, -8/3] ∪ [0, +∞[
b) [-∞, 1] ∪ ]2, +∞[
c) [8/3, 4/3] ∪ [-∞, -2]
d) ]-∞, -3/2] ∪ [2/3, +∞[
e) ]-∞, -4/3] ∪ [1, +∞[

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a) 3035
b) 4205
c) 4398
d) 4608
e) 5063

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a) 1.092.
b) 729.
c) 970.
d) 1.086.
e) 1.458.

9. (Ueg 2021) Maria tem 5 saias, sendo uma de cada cor: azul, vermelha, branca, preta e lilás. Ela possui ainda 4 blusas: azul, rosa, marfim e preta. De quantas formas diferentes ela poderá se vestir de modo a não usar saia e blusa da mesma cor?

a) 10
b) 09
c) 18
d) 12
e) 16