1. (Fuvest-Ete 2022) Sejam ????:ℝ → ℝ ∗ e ????:ℝ ∗→ ℝ duas funções tais que 1g(x) 1x=+ e 2g(f(x))=x2+x. Então f(x) é igual a a) 2x b) 1/(2x+1) c) 2...

Para encontrar a função f(x), podemos começar substituindo x por f(x) na segunda equação e obter: 2g(f(f(x))) = f(x)^2 + f(x) Agora, podemos substituir g(f(x)) na equação acima por 1/(x+1) (já que g(x) = 1/(x+1)) e obter: 2/(f(x)+1) = f(x)^2 + f(x) Multiplicando ambos os lados por f(x)+1, temos: 2 = f(x)^3 + 2f(x)^2 + f(x) Reorganizando os termos, temos: f(x)^3 + 2f(x)^2 + f(x) - 2 = 0 Podemos fatorar a equação acima como: (f(x)-1)(f(x)^2 + 3f(x) + 2) = 0 Portanto, temos duas soluções possíveis para f(x): f(x) = 1 ou f(x) = -1 ± √2 No entanto, a primeira equação nos diz que g(x) = |x|, o que significa que g(x) só pode assumir valores positivos. Portanto, a única solução possível para f(x) é f(x) = 2x. Portanto, a resposta correta é a letra a) 2x.