Questão resolvida - 7 y_(1xy)dxdy (limites de integração em x e y de 0 a 1) - Cálculo II - Universidade do Estado de Minas Gerais

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7. dxdy
1
0
∫
1
0
∫ y
1 + xy
 
Resolução:
 
Seguindo a ordem de integração, primeiro em relação a e depois em relação a , vamos x y
inciar a integração da integral em sua forma indefinida;
 
dxdy; aqui y é constante, assim, fazemos : u = 1 + xy du = ydx∫∫ y
1 + xy
→
Com isso, a integral fica;
 
dxdy = dy∫∫ y
1 + xy
∫∫du
u
 
Resolvendo; dy = ln|u|dy = ln|1 + xy|dy∫∫du
u
∫ ∫
 
Voltando para a integral definida;
 
dxdy = ln|1 + xy| dy = ln|1 + 1 ⋅ y| - ln|1 + 0 ⋅ y| dy
1
0
∫
1
0
∫ y
1 + xy
1
0
∫
1
0
1
0
∫ ( )
 
= ln|1 + y| - ln|1 + 0| dy = ln|1 + y| - ln|1| dy = ln|1 + y| - 0 dy
1
0
∫ ( )
1
0
∫ ( )
1
0
∫ ( )
 
= ln|1 + y|dy
1
0
∫
 
Novamente, vamos, primeiro, resolver a integral, agora em relação a y,
 em sua forma indefinida;
 
 
Primeiro, vamos fazer a seguinte substituição;
 
ln|1 + y|dy, t = 1 + y dt = dy, então : ln|1 + y|dy = ln|t|dt∫ → ∫ ∫
 
 empregando integração por partes;
 
udv = uv - vdu∫ ∫
 
Temos : u = ln|t| du = dt, dv = dt v = dt v = t→
1
t
→ ∫ →
 
Com isso, temos;
 
Como t = 1 + y, fica;
 
ln|t|t - t + c = ln|1 + y| 1 + y - 1 + y + c( ) ( )
 
Com a integral resolvida, voltamos, então, para a integral definida;
 
ln|1 + y|dy = ln|1 + y| 1 + y - 1 + y
1
0
∫ [ ( ) ( )]
1
0
 
ln|1 + y|dy = ln|1 + 1| 1 + 1 - 1 + 1 - ln|1 + 0| 1 + 0 - 1 + 0
1
0
∫ ( ) ( ) [ ( ) ( )]
 
ln|1 + y|dy = ln|2| 2 - 2 - ln|1| 1 - 1 = 2ln|2| - 2 - 0 ⋅ 1 + 1 = 2ln|2| - 2 - 0 + 1
1
0
∫ ( ) ( ) [ ( ) ( )]
 
Finalmente;
 
dxdy = 2ln|2| - 1
1
0
∫
1
0
∫ y
1 + xy
 
 
ln|t|dt = ln|t|t - t dt = ln|t|t - dt = ln|t|t - 1dt = ln|t|t - t + c∫ ∫ 1
t
∫t
t
∫
(Resposta)