Resolva os problemas de valor inicial abaixo por separação de variáveis:
a)
dx
dt
= (x2 − 1) t, x(0) = 0; b)

dx
dt
= x sen(t), x(0) = 1; c)xy′ ...

Question

Resolva os problemas de valor inicial abaixo por separação de variáveis:
a)
dx
dt
= (x2 − 1) t, x(0) = 0; b)

dx
dt
= x sen(t), x(0) = 1; c)xy′ = y + 2x2y, y(1) = 1;

d)
dy
dx
=

y2 + 1

x2 + 1
, y(0) = 1; e)

dy
dx
=

x2 + 1

y2 + 1
, y(0) = 1; f)y′ = xe−y, y(0) = 1;

g)xy′ = e−y, y(1) = 1; h)y′ + y2 cosx = 0, y(0) = 0; i)senθdθ = 2ydy, y
(
π
2

) = 0.

Ed · Answer

a) Vamos separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação:
dx / dt = (x² - 1) t
dx / (x² - 1) = t dt
Integrando ambos os lados, temos:
1/2 ln|x - 1| - 1/2 ln|x + 1| = (t² / 2) + C
Aplicando as condições iniciais, temos:
1/2 ln|-1| - 1/2 ln|1| = (0² / 2) + C
C = 0
Portanto, a solução é:
1/2 ln|x - 1| - 1/2 ln|x + 1| = (t² / 2)

b) Vamos separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação:
dx / dt = x sen(t)
dx / x = sen(t) dt
Integrando ambos os lados, temos:
ln|x| = -cos(t) + C
Aplicando as condições iniciais, temos:
ln|1| = -cos(0) + C
C = 0
Portanto, a solução é:
ln|x| = -cos(t)

c) Vamos separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação:
xy' = y + 2x²y
y' / y = 1/x + 2x
Integrando ambos os lados, temos:
ln|y| = ln|x| + x² + C
Aplicando as condições iniciais, temos:
ln|1| = ln|1| + 1² + C
C = -1
Portanto, a solução é:
ln|y| = ln|x| + x² - 1

d) Vamos separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação:
dy / dx = (y² + 1) / (x² + 1)
(y² + 1) dy = (x² + 1) dx
Integrando ambos os lados, temos:
y³ / 3 + y = x / 3 + x / 3 + C
Aplicando as condições iniciais, temos:
1 / 3 + 1 = 0 / 3 + 0 / 3 + C
C = 4 / 3
Portanto, a solução é:
y³ / 3 + y = x / 3 + x / 3 + 4 / 3

e) Vamos separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação:
dy / dx = (x² + 1) / (y² + 1)
(y² + 1) dy = (x² + 1) dx
Integrando ambos os lados, temos:
x / 2 - arctan(y) = C
Aplicando as condições iniciais, temos:
0 / 2 - arctan(1) = C
C = -π / 4
Portanto, a solução é:
x / 2 - arctan(y) = -π / 4

f) Vamos separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação:
dy / dx = xe^-y
e^y dy = x dx
Integrando ambos os lados, temos:
e^y = (x² / 2) + C
Aplicando as condições iniciais, temos:
e^0 = (1² / 2) + C
C = -1/2
Portanto, a solução é:
e^y = (x² / 2) - 1/2

g) Vamos separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação:
xy' = e^-y
y' / e^-y = 1/x
Integrando ambos os lados, temos:
e^y = ln|x| + C
Aplicando as condições iniciais, temos:
e^0 = ln|1| + C
C = 1
Portanto, a solução é:
e^y = ln|x| + 1

h) Esta equação não pode ser resolvida por separação de variáveis.

i) Vamos separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação:
senθ dθ = 2y dy
Integrando ambos os lados, temos:
-cosθ = y² + C
Aplicando as condições iniciais, temos:
-cos(π/2) = 0² + C
C = -1
Portanto, a solução é:
-cosθ = y² - 1

Resolva os problemas de valor inicial abaixo por separação de variáveis: a) dx dt = (x2 − 1) t, x(0) = 0; b) dx dt = x sen(t), x(0) = 1; c)xy′ ...

Matemática Aplicada à Engenharia Química (eq)

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