Determine a solução geral da equação: a)(2y + x2)dx = xdy; b)y′ + y 1−x = x2 − x; c)(1 + x2)dy = (1 + xy)dx; d)x ln(x)y′ + y = 2 ln(x); e)(x c...

a) Para resolver a equação (2y + x²)dx = xdy, podemos utilizar o método de fator integrante. Primeiro, dividimos ambos os lados da equação por x(2y + x²), obtendo: (2y + x²)/(x(2y + x²))dx = 1/x dy Agora, notamos que a expressão à esquerda é a derivada de (y/x), ou seja: d(y/x) = (2y + x²)/(x(2y + x²))dx Multiplicando ambos os lados por dx e integrando, temos: ln|x| + ln|2y + x²| = ln|C| Simplificando, obtemos a solução geral: y/x = C/(2y + x²) b) Para resolver a equação y' + y/(1-x) = x² - x, podemos utilizar o fator integrante e^(ln(1-x)) = 1-x. Multiplicando ambos os lados da equação por 1-x, temos: (1-x)y' + y = x²(1-x) - x(1-x) Agora, notamos que a expressão à esquerda é a derivada de (y(1-x)), ou seja: d(y(1-x)) = x²(1-x) - x(1-x) dx Multiplicando ambos os lados por dx e integrando, temos: y(1-x) = (1/3)x³ - (1/2)x² + C Simplificando, obtemos a solução geral: y = (1/3)x³/(1-x) - (1/2)x²/(1-x) + C/(1-x) c) Para resolver a equação (1 + x²)dy = (1 + xy)dx, podemos dividir ambos os lados por x(1 + x²), obtendo: dy/dx = y/x + 1/(x(1 + x²)) Agora, notamos que a expressão à direita é a derivada de ln|x| + arctan(x), ou seja: dy/dx = d/dx(ln|x| + arctan(x)) Integrando ambos os lados, temos: ln|y| + arctan(x) = ln|x| + C Simplificando, obtemos a solução geral: y = Cx/(1 + x²) d) Para resolver a equação x ln(x)y' + y = 2 ln(x), podemos utilizar o fator integrante e^(ln(x²)) = x². Multiplicando ambos os lados da equação por x², temos: x³ ln(x) y' + x² y = 2x² ln(x) Agora, notamos que a expressão à esquerda é a derivada de (x³ ln(x) y), ou seja: d(x³ ln(x) y) = 2x² ln(x) dx Integrando ambos os lados, temos: x³ ln(x) y = x² (ln(x) - 1) + C Simplificando, obtemos a solução geral: y = (ln(x) - 1)/x + C/(x³ ln(x)) e) Para resolver a equação (x cos(x))y' + (x sen(x) + cos(x))y = 1, podemos utilizar o fator integrante e^(int(x cos(x) dx)) = e^(sen(x)). Integrando, temos: e^(sen(x)) (x cos(x) y)' + e^(sen(x)) (x sen(x) + cos(x)) y = e^(sen(x)) Agora, notamos que a expressão à esquerda é a derivada de (e^(sen(x)) x cos(x) y), ou seja: d(e^(sen(x)) x cos(x) y) = e^(sen(x)) dx Integrando ambos os lados, temos: e^(sen(x)) x cos(x) y = ∫ e^(sen(x)) dx + C Simplificando, obtemos a solução geral: y = (1/x cos(x)) (∫ e^(sen(x)) dx + C) f) Para resolver a equação dy/dx - 2xy = 2ex/2, podemos utilizar o fator integrante e^(int(-2x dx)) = e^(-x²). Multiplicando ambos os lados da equação por e^(-x²), temos: e^(-x²) dy/dx - 2xy e^(-x²) = ex e^(-x²) Agora, notamos que a expressão à esquerda é a derivada de (y e^(-x²)), ou seja: d(y e^(-x²)) = ex e^(-x²) dx Integrando ambos os lados, temos: y e^(-x²) = ∫ ex e^(-x²) dx + C Infelizmente, a integral do lado direito não pode ser expressa em termos de funções elementares, então não é possível obter uma solução geral explícita. g) Para resolver a equação y' + y cot(x) = cossec(x), podemos utilizar o fator integrante e^(int(cot(x) dx)) = sen(x). Multiplicando ambos os lados da equação por sen(x), temos: sen(x) y' + y cos(x) = 1 Agora, notamos que a expressão à esquerda é a derivada de (y sen(x)), ou seja: d(y sen(x)) = cos(x) dx Integrando ambos os lados, temos: y sen(x) = ∫ cos(x) dx + C Simplificando, obtemos a solução geral: y = (1/sen(x)) (∫ cos(x) dx + C) h) Para resolver a equação (3x + y)dy + (y + 2)dx = 0, podemos reescrevê-la como: dy/dx = -(y + 2)/(3x + y) Agora, podemos fazer a substituição y = vx, obtendo: y' = v + x v' dy/dx = v + x v' Substituindo na equação original, temos: (3x + vx) (v + x v') + (vx + 2) = 0 Simplificando, obtemos: x v² + (3 - v) x v' + 2 = 0 Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que pode ser resolvida utilizando o fator integrante e^(int((3-v)/x dx)) = x^(3-v). Multiplicando ambos os lados da equação por x^(3-v), temos: x^(4-v) v' + (3-v) x^(3-v) v + 2 x^(3-v) = 0 Agora, notamos que a expressão à esquerda é a derivada de (x^(3-v) v), ou seja: d(x^(3-v) v) = -2 x^(3-v) dx Integrando ambos os lados, temos: x^(3-v) v = -∫ 2 x^(3-v) dx + C Simplificando, obtemos a solução geral: y = vx = -2x^(v-3)/(3-v) + Cx Substituindo y = vx, temos: y = -2x^(y/x-3)/(3-y/x) + Cx i) Para resolver a equação x(x² + 1)y' + 2y = (x² + 1)³, podemos utilizar o fator integrante e^(int(2/x dx)) = x². Multiplicando ambos os lados da equação por x², temos: x³ y' + 2xy = (x² + 1)³/x Agora, notamos que a expressão à esquerda é a derivada de (x³ y), ou seja: d(x³ y) = (x² + 1)³ dx Integrando ambos os lados, temos: x³ y = ∫ (x² + 1)³ dx + C Simplificando, obtemos a solução geral: y = [(x² + 1)³/3 - x^3]/x³ + C/x² j) Para resolver a equação y' + xy = y⁴, podemos utilizar o fator integrante e^(int(x dx)) = e^(x²/2). Multiplicando ambos os lados da equação por e^(x²/2), temos: e^(x²/2) y' + xe^(x²/2) y = y⁴ e^(x²/2) Agora, notamos que a expressão à esquerda é a derivada de (e^(x²/2) y), ou seja: d(e^(x²/2) y) = y⁴ e^(x²/2) dx Infelizmente, esta equação não pode ser resolvida explicitamente em termos de funções elementares, então não é possível obter uma solução geral explícita.