Calcule as integrais abaixo: a) 3x2 dx b) sen2 x3 dx c) sec 4x2 dx

a) A integral de 3x² dx é x³ + C, onde C é a constante de integração. b) A integral de sen² x³ dx não pode ser resolvida diretamente. É necessário utilizar a identidade trigonométrica sen² x = (1 - cos 2x)/2 para transformar a integral em: (1/2) ∫ (1 - cos 2x) dx³ Agora, podemos integrar cada termo separadamente: (1/2) ∫ dx³ - (1/2) ∫ cos 2x dx³ A primeira integral é simplesmente x³/3 + C. Para a segunda integral, podemos usar a substituição u = 2x, du = 2 dx³, para obter: -(1/4) ∫ cos u du Que é igual a -(1/4) sen u + C. Substituindo de volta para x, temos: (1/2) x³ - (1/8) sen 2x + C c) A integral de sec 4x² dx não pode ser resolvida diretamente. É necessário utilizar a substituição u = 2x, du = 2 dx para transformar a integral em: (1/2) ∫ sec u du Agora, podemos usar a fórmula de integração para secante: (1/2) ln |sec u + tan u| + C Substituindo de volta para x, temos: (1/2) ln |sec 2x + tan 2x| + C