Determinar o subespaço de IR4 gerado pelos vetores ???? = (2,−1, 1, 4), ???? = (3, 3, −3, 6) e ???? = (0, 4, −4, 0).

Para determinar o subespaço de IR4 gerado pelos vetores dados, podemos utilizar o método de eliminação de Gauss para encontrar a forma escalonada reduzida da matriz formada pelos vetores. Montando a matriz com os vetores como linhas, temos: [ 2 -1 1 4 ] [ 3 3 -3 6 ] [ 0 4 -4 0 ] Aplicando o método de eliminação de Gauss, obtemos a seguinte matriz escalonada reduzida: [ 1 0 -2 2 ] [ 0 1 -1 1 ] [ 0 0 0 0 ] Portanto, o subespaço gerado pelos vetores é o espaço das soluções do sistema homogêneo associado à matriz escalonada reduzida, que é dado por: x1 - 2x3 + 2x4 = 0 x2 - x3 + x4 = 0 Podemos reescrever esse sistema na forma de um sistema de equações paramétricas: x1 = 2x3 - 2x4 x2 = x3 - x4 x3 é livre x4 é livre Assim, o subespaço gerado pelos vetores é o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores da forma: (2x3 - 2x4, x3 - x4, x3, x4) ou, de forma equivalente: (2, 0, 1, 0)x3 + (-2, 1, 0, 1)x4 Portanto, o subespaço gerado pelos vetores é o plano que passa pelos pontos (2, 0, 1, 0) e (-2, 1, 0, 1) no espaço IR4.