Questão 13: Verifique se os seguintes vetores são linearmente independentes. a) (1, 1, 1), (0, 1,−2). b) (π, 0), (0, 1). c) (1, 1, 0), (1, 1, 1),...

Para verificar se os vetores são linearmente independentes, podemos utilizar o método da matriz aumentada. Para isso, basta colocar os vetores como colunas de uma matriz e escaloná-la. Se o posto da matriz for igual ao número de vetores, então eles são linearmente independentes. Caso contrário, eles são linearmente dependentes. a) A matriz aumentada formada pelos vetores (1, 1, 1) e (0, 1, -2) é: 1 0 | 1 1 1 | 1 1 -2 | 0 Ao escalonar a matriz, obtemos: 1 0 | 1 0 1 | 0 0 0 | -1 Como o posto da matriz é igual a 2, que é o número de vetores, então eles são linearmente independentes. b) A matriz aumentada formada pelos vetores (π, 0) e (0, 1) é: π 0 | 1 0 1 | 0 Ao escalonar a matriz, obtemos: π 0 | 1 0 1 | 0 Como o posto da matriz é igual a 2, que é o número de vetores, então eles são linearmente independentes. c) A matriz aumentada formada pelos vetores (1, 1, 0), (1, 1, 1) e (0, 1, -1) é: 1 1 0 | 0 1 1 1 | 0 0 1 -1 | 0 Ao escalonar a matriz, obtemos: 1 0 -1 | 0 0 1 1 | 0 0 0 0 | 0 Como o posto da matriz é igual a 2, que é menor que o número de vetores, então eles são linearmente dependentes. d) A matriz aumentada formada pelos vetores (0, 1, 1), (0, 2, 1) e (1, 5, 3) é: 0 0 1 | 0 0 1 5 | 0 1 1 3 | 0 Ao escalonar a matriz, obtemos: 1 0 0 | 0 0 1 5 | 0 0 0 1 | 0 Como o posto da matriz é igual a 3, que é o número de vetores, então eles são linearmente independentes.