Questão 14: Considere o espaço vetorial de funções reais determinadas para t > 0. Mostre que os seguintes pares de funções são linearmente i...

Para mostrar que um conjunto de funções é linearmente independente, precisamos mostrar que a única combinação linear que resulta no vetor nulo é a combinação linear trivial, ou seja, todos os coeficientes são iguais a zero. a) Para mostrar que f1(t) = t e f2(t) = 1/t são linearmente independentes, precisamos mostrar que a única combinação linear que resulta em zero é a combinação linear trivial. Assim, suponha que existam constantes c1 e c2 tais que: c1 * t + c2 * (1/t) = 0 Multiplicando ambos os lados por t, temos: c1 * t^2 + c2 = 0 Isolando c2, temos: c2 = -c1 * t^2 Substituindo c2 na equação original, temos: c1 * t - c1 * t = 0 Portanto, a única combinação linear que resulta em zero é a combinação linear trivial, ou seja, c1 = c2 = 0. Portanto, f1(t) = t e f2(t) = 1/t são linearmente independentes. b) Para mostrar que f1(t) = e^t e f2(t) = ln(t) são linearmente independentes, precisamos mostrar que a única combinação linear que resulta em zero é a combinação linear trivial. Assim, suponha que existam constantes c1 e c2 tais que: c1 * e^t + c2 * ln(t) = 0 Tomando a derivada em relação a t em ambos os lados, temos: c1 * e^t + c2/t = 0 Multiplicando ambos os lados por t, temos: c1 * t * e^t + c2 = 0 Isolando c2, temos: c2 = -c1 * t * e^t Substituindo c2 na equação original, temos: c1 * e^t - c1 * t * e^t * ln(t) = 0 Portanto, a única combinação linear que resulta em zero é a combinação linear trivial, ou seja, c1 = c2 = 0. Portanto, f1(t) = e^t e f2(t) = ln(t) são linearmente independentes.