6) Determinar a distância do ponto ???? (2,−1,2) a cada um dos planos Para calcular a distância entre um ponto e um plano, é necessário encontrar a ...

Para determinar a distância do ponto P(2,-1,2) a cada um dos planos, é necessário seguir os seguintes passos: 1. Encontrar a equação do plano correspondente. 2. Encontrar um ponto do plano. 3. Encontrar o vetor normal ao plano. 4. Substituir os valores do ponto na fórmula d = |ax0 + by0 + cz0 + d| / sqrt(a^2 + b^2 + c^2), onde d é a distância entre o ponto e o plano. Suponha que os planos sejam dados pelas equações: a) 2x - y + 3z = 4 b) x + 2y - z = 5 a) Para encontrar um ponto do plano, podemos escolher qualquer ponto que satisfaça a equação. Vamos escolher (0,0,4/3): 2(0) - (0) + 3(4/3) = 4/3 Portanto, um ponto do plano é (0,0,4/3). Para encontrar o vetor normal ao plano, basta observar os coeficientes da equação. Temos que o vetor normal é (2,-1,3). Substituindo os valores na fórmula, temos: d = |2(2) - (-1)(-1) + 3(2) - 4| / sqrt(2^2 + (-1)^2 + 3^2) d = 7 / sqrt(14) Portanto, a distância do ponto P ao plano a é 7 / sqrt(14). b) Para encontrar um ponto do plano, podemos escolher qualquer ponto que satisfaça a equação. Vamos escolher (0,5,0): (0) + 2(5) - (0) = 10 Portanto, um ponto do plano é (0,5,0). Para encontrar o vetor normal ao plano, basta observar os coeficientes da equação. Temos que o vetor normal é (1,2,-1). Substituindo os valores na fórmula, temos: d = |1(2) + 2(-1) + (-1)(2) - 5| / sqrt(1^2 + 2^2 + (-1)^2) d = 3 / sqrt(6) Portanto, a distância do ponto P ao plano b é 3 / sqrt(6).