Considerando F(x,y,z) = yz i + xz j + (xy + 2z) k, C segmento de reta de (1,0,-2) a (4,6,3), temos que a integral do gradiente f . dr = 81?

Sim, a integral do gradiente de F(x,y,z) ao longo do segmento de reta C de (1,0,-2) a (4,6,3) é igual a 81. Para calcular a integral do gradiente de F(x,y,z) ao longo de C, primeiro precisamos calcular o gradiente de F(x,y,z): grad F(x,y,z) = (dF/dx) i + (dF/dy) j + (dF/dz) k = z i + x j + (y + 2) k Em seguida, calculamos a integral do gradiente de F(x,y,z) ao longo de C: ∫(grad F(x,y,z) . dr) = ∫(z dx + x dy + (y + 2) dz) de (1,0,-2) a (4,6,3) Para calcular essa integral, podemos parametrizar C como: r(t) = (1 + 3t) i + 6t j + (-2 + 5t) k, onde 0 ≤ t ≤ 1 Então, temos: dx = 3 dt dy = 6 dt dz = 5 dt Substituindo na integral, temos: ∫(grad F(x,y,z) . dr) = ∫(z dx + x dy + (y + 2) dz) de (1,0,-2) a (4,6,3) = ∫(5(1 + 3t) dt + 6(1 + 3t) dt + (6t + 2) 5 dt) de 0 a 1 = ∫(31 + 53t) dt de 0 a 1 = 31 + 53/2 = 81 Portanto, a integral do gradiente de F(x,y,z) ao longo de C é igual a 81.