Dados os pontos A = (0,1,8) e B = (-3,0,9), e a reta r:X = (1,2,0) + k(1,1,-3), o ponto C de r, tal que A, B e C sejam vértices de um triângulo ret...

Para encontrar o ponto C, precisamos encontrar a interseção entre a reta r e a esfera de centro A e raio AB. Primeiro, encontramos o vetor AB: AB = B - A = (-3, 0, 9) - (0, 1, 8) = (-3, -1, 1) O comprimento de AB é: |AB| = sqrt((-3)^2 + (-1)^2 + 1^2) = sqrt(11) Agora, podemos escrever a equação da esfera: (x - 0)^2 + (y - 1)^2 + (z - 8)^2 = (sqrt(11))^2 x^2 + y^2 + z^2 - 2y - 16z + 66 = 0 Substituindo a equação da reta na equação da esfera, temos: (1 + k)^2 + (2 + k - 1)^2 + (-3k - 8)^2 - 2(2 + k - 1) - 16(-3k - 8) + 66 = 0 Resolvendo para k, encontramos: k = -1 Substituindo k = -1 na equação da reta, encontramos o ponto C: C = (1, 2, 0) + (-1)(1, 1, -3) = (0, 1, 3) Portanto, o ponto C é (0, 1, 3).