Calcule a integral de linha ∫C (y/(x2 + y2) - y)dx + (x - x/(x2 + y2))dy, onde C é o contorno do retângulo [-1, 1] x [-2, 2] orientado no sentido a...

Para calcular a integral de linha ∫C (y/(x2 + y2) - y)dx + (x - x/(x2 + y2))dy, onde C é o contorno do retângulo [-1, 1] x [-2, 2] orientado no sentido anti-horário, podemos usar o Teorema de Green. Primeiro, vamos calcular a integral dupla da divergência do campo vetorial F⃗(x,y) = (-y,x) sobre o retângulo [-1, 1] x [-2, 2]: ∬D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA = ∬D (1 - (-1)) dA = 4 Como o resultado é diferente de zero, o campo vetorial F⃗(x,y) = (-y,x) não é conservativo. Agora, vamos verificar se o campo vetorial G⃗(x,y) = (y/(x2+y2), -x/(x2+y2)) é conservativo em D = [-1,1] x [-2,2] \ B1/2(0,0), onde B1/2(0,0) é o círculo de raio 1/2 centrado na origem. Calculando a integral dupla da divergência do campo vetorial G⃗(x,y) sobre D, temos: ∬D (∂Q/∂x - ∂P/∂y) dA = ∬D (1/(x2+y2) + 1/(x2+y2)) dA = 4π Como o resultado é diferente de zero, o campo vetorial G⃗(x,y) = (y/(x2+y2), -x/(x2+y2)) não é conservativo em D. No entanto, a questão nos fornece a informação de que a integral de linha ∫C G⃗ · ds + ∫-γ1/2 G⃗ · ds = 0, onde γ1/2 é o círculo de raio 1/2 centrado na origem. Isso significa que a integral de linha de G⃗ ao longo de C é igual à integral de linha de G⃗ ao longo de γ1/2 com sinal trocado. Podemos calcular a integral de linha de G⃗ ao longo de γ1/2 usando coordenadas polares: ∫0^2π G⃗(1/2 cosθ, 1/2 sinθ) · (-1/2 sinθ, 1/2 cosθ) dθ = ∫0^2π (-1/4 cosθ sinθ - 1/4 cosθ sinθ) dθ = 0 Portanto, a integral de linha ∫C (y/(x2 + y2) - y)dx + (x - x/(x2 + y2))dy é igual a -∫γ1/2 G⃗ · ds. Podemos calcular a integral de linha de G⃗ ao longo de C usando as quatro curvas que formam o contorno do retângulo [-1, 1] x [-2, 2]: ∫C G⃗ · ds = ∫-1^1 (2/(x2+4) - 2) dx + ∫-2^2 (-1/(1+y2) - 0) dy + ∫1^-1 (-2/(x2+4) + 2) dx + ∫2^-2 (1/(1+y2) - 0) dy = 2π - 8 Portanto, a integral de linha ∫C (y/(x2 + y2) - y)dx + (x - x/(x2 + y2))dy é igual a: -(-∫γ1/2 G⃗ · ds) = -0 = 0 Portanto, a resposta correta é 0.