Problema 9 Calcule, usando mudanças de coordenadas polares, as seguintes integrais: a) ∫∫ D 1 (1 + x2 + y2)2 dx dy, onde D = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2...

Para resolver essas integrais usando mudanças de coordenadas polares, vamos seguir os seguintes passos: a) Para a integral ∫∫ D 1 (1 + x^2 + y^2)^2 dx dy, onde D = {(x, y) ∈ R^2 | x^2 + y^2 ≤ 4}: 1. Faça a mudança de coordenadas polares: x = rcosθ e y = rsenθ. 2. Calcule o Jacobiano da transformação: dx dy = r dr dθ. 3. Substitua as variáveis na integral: ∫∫ D 1 (1 + (rcosθ)^2 + (rsenθ)^2)^2 r dr dθ. 4. Simplifique a expressão dentro da integral: ∫∫ D 1 (1 + r^2)^2 r dr dθ. 5. Resolva a integral em relação a r: ∫ (1 + r^2)^2 r dr. 6. Resolva a integral em relação a θ: ∫∫ D (1 + r^2)^2 r dr dθ. b) Para a integral ∫∫ D (x^2 + y^2) dx dy, onde D é a região no primeiro quadrante do plano xy limitada por x^2 + y^2 = 1, x^2 + y^2 = 4, y = x e y = √3/3 x: 1. Faça a mudança de coordenadas polares: x = rcosθ e y = rsenθ. 2. Determine os limites de integração em termos de r e θ com base nas equações das curvas que delimitam a região D. 3. Calcule o Jacobiano da transformação: dx dy = r dr dθ. 4. Substitua as variáveis na integral: ∫∫ D (rcosθ)^2 + (rsenθ)^2 r dr dθ. 5. Simplifique a expressão dentro da integral: ∫∫ D r^3 dr dθ. 6. Resolva a integral em relação a r: ∫ r^3 dr. 7. Resolva a integral em relação a θ: ∫∫ D r^3 dr dθ. Lembre-se de ajustar os limites de integração de acordo com a mudança de coordenadas polares. Espero que isso ajude!