A Teoria das Filas nos auxilia a tomar decisões racionais sobre a quantidade de servidores disponíveis para atender uma dada quantidade de clientes...

A Teoria das Filas nos auxilia a tomar decisões racionais sobre a quantidade de servidores disponíveis para atender uma dada quantidade de clientes que chegam ao sistema de forma estocástica. Considere um hospital com um único médico plantonista. Considerando, ainda, que cada paciente chega em um intervalo médio (distribuído exponencialmente) de 30 minutos, e que o médico leva um tempo médio de atendimento (distribuído exponencialmente) de 20 minutos, indique o tempo médio esperado na fila e o que acontecerá após a contratação de um novo médico que tenha o mesmo tempo médio de atendimento.

1 – Análise Inicial

A partir dos dados dos problemas, para a primeira situação podemos concluir que o modelo é do tipo M/M/1, pois possui-se para a chegada dos clientes uma distribuição exponencial e para o atendimento também e por fim tem-se somente um servidor. Na segunda situação a diferença é somente o número de servidores que passou a ser dois, portanto o modelo é do tipo M/M/2.

2 – Cálculo do tempo médio esperando na fila (Tf) para situação de um médico (servidor), modelo M/M/1.

a) Convertendo o tempo (t) minutos para hora e na sequência calculando a taxa de chegada (λ).

???? = ????????????????????????????/60 = 30/60 = 0,5

???? = 1/???? = 1/0,5 = 2 ????????????????????????????/ℎ????????????

b) Convertendo o tempo (t) minutos para hora e na sequência calculando a taxa de atendimento (μ).

???? = ????????????????????????????/60 = 20/60 = 1/3

???? = 1/???? = 1/(1/3) = 3 ????????????????????????????/ℎ????????????

Observação: λ < μ garante que a fila formada não crescerá indefinidamente. Temos o estado estacionário.

c) Obtendo o tempo médio de fila (Tf), utilizando as taxas calculadas em “a” e “b” e convertendo para minutos na sequência.

???????? = ????/(????(???? − ????)) = 2/(3(3 − 2)) = 2/3 horas = 40 minutos

d) Calculando o tempo que o sistema permanece ocupado (ρ).

???? = ????/???? = 2/3 ≅ 0,67 ou 67% do tempo

3 – Cálculo do tempo médio esperando na fila (Tf) para situação de dois médicos (servidores), modelo M/M/2.

a) Calculando ρ.

???? = ????/(???? ∗ ????) = 2/(2 ∗ 3) ≅ 0,33 ou 33% do tempo

b) Calculando o π0.

????0 = [(∑(???? ∗ ????)????/????!) + ((???? ∗ ????)????/????! (1 − ????))]−1

????0 = [((2 ∗ 0,33)0/0!) + ((2 ∗ 0,33)1/1!)) + ((2 ∗ 0,33)2/2! (1 − 0,33))]−1

????0 = [1,66 + ((0,66)2/(2 ∗ 0,67))]−1

????0 = [1,66 + 0,32]−1 ∴ ????0 = 0,50

c) Calculando o número médio de clientes na fila (Cf).

???????? = [(1/(???? − 1)! ∗ (????/????)) ∗ ???? ∗ ???? ∗ ????/(???? ∗ ???? − ????)2] ∗ ????0

???????? = [(1/(2 − 1)! ∗ (2/3)) ∗ 2 ∗ 2 ∗ 3/(2 ∗ 3 − 2)2] ∗ 0,50

???????? = [0,17] ∗ 0,50

???????? = 0,083 clientes

d) Calculando o tempo médio de fila (Tf).

???????? = ????????/???? = 0,083/2 = 0,0415 horas ∴ ???????? = 2,49 minutos

4 – Conclusão

Conforme obtido no item 2, letra c, o tempo médio de fila para a configuração M/M/1 é de 40 minutos, preservado todas as características aumentando o número de servidores para 2, ou seja, o modelo agora é M/M/2, o tempo de fila será de 2,49 minutos. Uma redução de tempo de fila aproximadamente 16 vezes.
Indique o tempo médio esperado na fila e o que acontecerá após a contratação de um novo médico que tenha o mesmo tempo médio de atendimento.
Calcule o tempo médio esperando na fila (Tf) para situação de um médico (servidor), modelo M/M/1.
Calcule o tempo médio esperando na fila (Tf) para situação de dois médicos (servidores), modelo M/M/2.
O modelo M/M/1 é caracterizado por possuir uma distribuição exponencial tanto para a chegada dos clientes quanto para o atendimento, além de ter apenas um servidor.
O tempo médio de fila para a configuração M/M/1 é de 40 minutos.
O tempo médio de fila para a configuração M/M/2 é de 2,49 minutos, uma redução de tempo de fila aproximadamente 16 vezes.