trabalho revisado processo estocástico

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ENGENHARIA DE PRODUÇÃO
Leonardo Dantas Arruda – RA 6443300423
ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS
PROCESSO ESTOCÁSTICO
Limeira
2018
Leonardo Dantas Arruda – RA 6443300423
ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS
PROCESSO ESTOCÁSTICO 
Atividade prática supervisionada apresentada, à Faculdade de Limeira da Anhanguera Educacional, para avaliação da disciplina de Processo Estocástico, sob orientação do Professor Carlos Rafael.
Limeira
2018
 INTRODUÇAO
Frequentemente, consideram-se situações em que são feitas observações quanto a um período de tempo, situações essas influenciadas por efeitos aleatórios, não só em um único instante, mas por todo o intervalo de tempo ou sequência de tempos que se está a considerar. Essa situação é denominada um Processo Estocástico.
 
HISTORIA
Estudos rigorosos sobre processos estocásticos começaram no final do século 19 para ajudar a entender o mercado financeiro e o movimento Browniano. A primeira pessoa a descrever a matemática por trás do movimento Browniano foi Thorvald N. Thiele em um artigo sobre o método dos mínimos quadrados publicado em 1880. De modo independente, Louis Bachelier publicou em 1900 sua tese de PhD “A teoria da especulação”, em que ele apresenta uma análise estocástica dos mercados de ações e de opções. Albert Einstein, em um artigo de 1905, e Marian Smoluchowski, em 1906, trouxeram a solução do problema para a atenção dos físicos, apresentando-a como um modo indireto de confirmar a existência de átomos e moléculas. Suas equações descrevendo um movimento Browniano foram subsequentemente verificadas pelo trabalho experimental de Jean Baptiste Perrin em 1908.
DESCRIÇÃO E DEFINIÇÃO DE PROCESSOS ESTOCÁSTICOS :
 • Processo Estocástico: função ou sequência aleatória que varia com o tempo-dependente
“Fenômeno que varia em algum grau, de forma imprevisível, à medida que o tempo passa”. 
• Seja, por exemplo, n(t):
Variação do tráfego em um cruzamento; 
 Variação diária no tamanho do estoque de uma empresa; 
 Variação minuto a minuto do índice IBOVESPA
 Variação no estado de um sistema de potência; 
 Variação no número de chamadas feitas a uma central telefônica.
• n(t) é uma Variável Aleatória
 • n(t) pode ser descrita através de uma Função Distribuição de Probabilidade
 • O tempo de espera, w(t), em uma fila também é uma Variável Aleatória.
 . A observação de uma seqüência de tempo inteira do processo, em ocasiões diferentes, sob condições presumivelmente diferentes: 
 Seqüências resultantes diferentes. 
 . Comportamento de um sistema para uma seqüência ou intervalo de tempo inteiro: 
 O resultado será uma função (ou seqüência de valores) e não apenas um número.
 
 PARAMETROS DE PROCESSO 
 Para analisar o processo estocástico é preciso especificar o período de tempo T envolvido: quando ele será observado. 
• Processo de Estados Discretos: Número de estados possíveis de um sistema é uma quantidade finita, ou contável. Também conhecido como Cadeia Estocástica. 
Ex.: quantidade de pessoas numa fila, quantidade de celulares conectados a uma ERB 
• Processo de Estados Contínuos: Número de estados possíveis de um sistema é uma quantidade infinita, ou não contável.
 Ex.: tempo de conexão de um aparelho telefônico, tempo de espera numa fila.
- Tempo Discreto: t é finito ou enumerável. 
 Tempo Contínuo: caso contrário.
 Notação: - Processo em tempo contínuo: {X(t), t 0} – 
Processo em tempo discreto: {X(t), t = 1, 2, 3, ...}
Exemplos:
 - Estado Discreto e Tempo Contínuo: número de usuários em uma fila de banco em um determinado instante, colisões entre duas partículas no intervalo de 2 minutos;
 - Estado Contínuo e Tempo Contínuo: nível de uma represa observado em um intervalo de tempo;
 - Estado Discreto e Tempo Discreto: número de máquinas avariadas no fim do dia, Quantidade de barris petróleo produzidas ao final do dia por uma determinada multinacional;
- Estado Contínuo e Tempo Discreto: cotação de uma ação no fim do dia.
TIPOS DE PROCESSOS:
Processo de WEINER (Movimento Browniano): a disposição de uma partícula suspensa em um fluido, sujeita a sucessivas colisões com partículas vizinhas é um exemplo clássico do processo de Weiner. O fenômeno físico foi descoberto pelo botânico Robert Brown em 1827. A teoria do comportamento desse processo foi desenvolvida por Einstein (1906) e Weiner (1923)
O processo de Poisson :é o processo estocástico a tempo contínuo com a estrutura mais simples. Este processo conta o número de eventos de interesse até um determinado tempo. Nesta seção, vamos construir o processo de Poisson e estudar suas principais propriedades.
Processo de Renovação: um exemplo desse processo é a vida útil de um equipamento onde uma peça que falha é substituída por uma peça igual.
Processo de Markov: nesse processo toda história passada é resumida no estado atual (memória de curto prazo).
• É um Processo Estocástico onde: – Os estados futuros do processo são independentes dos estados passados e dependentes apenas do presente
 • Para analisar um Processo de Markov não é necessário conhecer toda a trajetória de estados passados, apenas o estado anterior (o sistema não possui memória) 
• Nome em homenagem a A.A.Markov, que em 1907 definiu e analisou esses processos 
• Um Processo de Markov de estados discretos é chamado Cadeia de Markov 
• Aplicação: modelagem de Sistemas de Filas.
 REALIZAÇÃO DE PROCESSO 
A cada ponto t do conjunto T observa-se uma medida ou variável aleatória Xt . 
Se o ponto amostral for indicado por s: Xt (s) para t T. 
Tal função de t é chamada de processo estocástico ou aleatório. 
Uma única função Xt , que corresponde a um único ponto amostral s é chamada de realização do processo estocástico. 
Estados do Processo
O conjunto de valores que Xt pode assumir é chamada de Espaço de Estados, e os valores específicos de Xt em dado momento são os Estados do Processo. 
Se Xt representa alguma contagem: Espaço de Estados poderia ser uma seqüência finita ou infinita de inteiros. 
 Processo de Estado Discreto ou Cadeia Aleatória. 
 Se Xt representa uma medida: Espaço de Estados poderia ser um intervalo de números reais. Processo de Estado Contínuo. 
 Parâmetros x Estados
 Processo de Parâmetros Discretos e Estados Discretos 
 Estoque de peças em uma loja ao fim da semana.
Parâmetros x Estados
Processo de Parâmetros Discretos e Estados Contínuos . 
Médias amostrais dos diâmetros de pistões.
Parâmetros x Estados
Processo de Parâmetros Contínuos e Estados Discretos 
No. de chamadas recebidas por um call-center em 6 horas
Parâmetros x Estados 
Processo de Parâmetros Contínuos e Estados Contínuos 
Eletroencefalograma
 CARACTERIZAÇÃO DE UM PROCESSO ESTOCÁSTICO 
Completa: são conhecidas todas as funções densidade de probabilidade conjuntas de todas as variáveis aleatórias que podem ser definidas, observando-se o processo em qualquer instante t E t. 
Parcial : são conhecidas apenas as suas funções média e autocorrelação (ou autocovariância).
De primeira ordem: 
F(x,t) = P[Xt (s)≤ x] f(x,t) = F/x conhecidas para t T. 
De segunda ordem: 
F(x1 ,x2 ;t1 ,t2 ) = P[Xt1 (s)≤x1 ,Xt2 (s)≤x2 ] conhecidas para t1 e t2 T. De ordem m: 
 Conhecida a função densidade de probabilidade conjunta das m variáveis aleatórias Xt1 (s) ... Xtm(s) para qualquer conjunto de valores ti , i = 1, ... , m.
 Média, Autocorrelação e Autocovariância
Média, autocorrelação e autocovariância
Autocovariância 
C(t ,t ) EX (t ) X (t ) Rt ,t (t ) (t ) 1 2 t 1 1 t 2 2 1
Processos Estocásticos Estacionários Sentido estrito: para qualquer ordem m a funçãodensidade de probabilidade conjunta de ordem m NÃO VARIA com o tempo.
 - f(x1 ,x2 ,...,xm;t1 ,t2 ,...,tm) = f(x1 ,x2 ,...,xm;t1+Δ ,t2+Δ ,...,tm+Δ ) 
 Sentido amplo 
E[Xt ] = μ (constante) 
 E[Xt (t+)Xt ] = RXtXt () 
Estacionário em incrementos: se Yt = Xt (t+) – Xt (t) for estacionário. 
 Ergodicidade
Processo estocástico estacionário é ergódico se todas as suas estatísticas podem ser determinadas a partir de qualquer função Xt (t,s) do processo, ou seja, através de médias temporais. 
Da média 
 Da variância 
 Quando T -> μT = μ σ 2 μT -> 0
 TEORIA DE FILA 
 
 CONCEITOS BÁSICOS
A teoria das filas envolve o estudo matemático das “filas”, ou filas de espera. Filas podem existir na forma de pessoas ou objetos esperando algum tipo de serviço ou podem existir num sentido mais abstrato, ou seja, não tão visível, como uma “fila” de navios esperando para atracar em um porto.