Mostre, usando semelhança de triângulos, que valem as relações entre as medidas no triângulo retângulo ABC. h2 = mn , cm = bh , bn = ch , b2 = am ,...

Podemos mostrar que essas relações são verdadeiras usando semelhança de triângulos. Primeiro, observe que o triângulo ABC é retângulo em A. A partir disso, podemos usar a semelhança de triângulos para encontrar as relações entre as medidas. Considere o triângulo ABC e o triângulo ABD, onde D é o pé da altura do triângulo ABC. Esses dois triângulos são semelhantes, pois têm um ângulo em comum (o ângulo reto em A) e dois ângulos congruentes (os ângulos em B e D). Assim, podemos escrever as seguintes proporções: h / m = c / b (pela semelhança dos triângulos ABC e ABD) h / n = a / b (pela semelhança dos triângulos ABC e ACD) Multiplicando essas duas equações, obtemos: (h / m) * (h / n) = (c / b) * (a / b) Simplificando, temos: h^2 = mn Essa é a primeira relação que queríamos mostrar. Agora, podemos usar a semelhança dos triângulos ABC e ABD novamente para encontrar as outras relações. Considere o triângulo ABD e o triângulo BDC. Esses dois triângulos são semelhantes, pois têm um ângulo em comum (o ângulo em D) e dois ângulos congruentes (os ângulos em B e C). Assim, podemos escrever as seguintes proporções: c / h = b / d (pela semelhança dos triângulos ABD e BDC) b / h = d / c (pela semelhança dos triângulos ABD e ABC) Multiplicando essas duas equações, obtemos: (b / h) * (c / h) = d Simplificando, temos: bc = dh Substituindo h^2 por mn, que já havíamos encontrado, obtemos: bc = ah Essa é uma das relações que queríamos mostrar. Agora, podemos usar a semelhança dos triângulos ABC e ACD para encontrar as outras relações. Considere o triângulo ABC e o triângulo ACD. Esses dois triângulos são semelhantes, pois têm um ângulo em comum (o ângulo em A) e dois ângulos congruentes (os ângulos em C e D). Assim, podemos escrever as seguintes proporções: c / a = a / b (pela semelhança dos triângulos ABC e ACD) b / c = a / d (pela semelhança dos triângulos ABC e ABD) Multiplicando essas duas equações, obtemos: (b / c) * (c / a) = (a / d) * (a / b) Simplificando, temos: b^2 = ac Substituindo b^2 por am, que já havíamos encontrado, obtemos: c^2 = an Essa é outra das relações que queríamos mostrar. Finalmente, podemos usar a relação que já havíamos encontrado, bc = ah, para encontrar a última relação. Observe que, como o triângulo ABC é retângulo em A, temos: b^2 + c^2 = a^2 Substituindo b^2 por am e c^2 por an, obtemos: am + an = a^2 Dividindo ambos os lados por a, obtemos: m + n = a Substituindo m + n por h^2 / a, que já havíamos encontrado, obtemos: h^2 / a = a Simplificando, temos: h^2 = a^2 Substituindo h^2 por mn, que já havíamos encontrado, obtemos: mn = a^2 Essa é a última relação que queríamos mostrar.