9. Seja (xn) uma sequência em R e suponha que lim n→∞ xn = a. Tome b ∈ R, b ̸= a, e mostre que existem ε > 0 e n0 ∈ N tal que o conjunto Nε,n0 = {...

Dado que lim n→∞ xn = a, temos que para todo ε > 0, existe um n0 ∈ N tal que |xn - a| < ε para todo n ≥ n0. Agora, tome b ∈ R, b ≠ a. Sem perda de generalidade, podemos assumir que b > a (caso contrário, basta considerar -b e -xn em vez de b e xn, respectivamente). Considere ε = (b - a)/2. Então, como b > a, temos que ε > 0. Agora, suponha por contradição que o conjunto Nε,n0 = {n ∈ N : n ≥ n0, |xn - b| < ε} não é vazio. Então, existe um n1 ≥ n0 tal que |xn1 - b| < ε. Mas então, temos que: b - a = (b - xn1) + (xn1 - a) < ε + ε = 2ε = b - a O que é uma contradição. Portanto, o conjunto Nε,n0 é vazio.