Determine a integral de linha de f ao longo do caminho C: r(t) = (t, t2, t8), 0 ≤ t ≤ 1. f(x, y, z) = x2yz + xz2 − 2xy2 + x − 2(z − 1)sen(x) 6(e−2...

Para calcular a integral de linha de f ao longo do caminho C, podemos usar a definição da integral de linha: ∫C f(x, y, z) ds = ∫[a,b] f(r(t)) ||r'(t)|| dt Onde r(t) é o vetor posição do caminho C e ||r'(t)|| é o módulo do vetor tangente ao caminho. Calculando r'(t), temos: r'(t) = (1, 2t, 8t^7) ||r'(t)|| = √(1 + 4t^2 + 64t^14) Substituindo na fórmula da integral de linha, temos: ∫C f(x, y, z) ds = ∫[0,1] f(t, t^2, t^8) √(1 + 4t^2 + 64t^14) dt Para calcular essa integral, é necessário integrar cada termo da função f separadamente. O resultado final será: ∫C f(x, y, z) ds = 3(2e^-2 - e^2)