Qual é o valor da integral ∫∫DxydA, onde D é a região triangular no plano delimitada pelas retas y = 1, x = 3 e y = x + 1 com densidade ρ(x, y) = x...

Para resolver essa integral, podemos utilizar coordenadas polares. Primeiro, vamos encontrar os limites de integração em r e θ. A região D é delimitada pelas retas y = 1, x = 3 e y = x + 1. Podemos reescrever essas equações em coordenadas polares: y = 1 -> r sin(θ) = 1 x = 3 -> r cos(θ) = 3 y = x + 1 -> r sin(θ) = r cos(θ) + 1 -> r = 1/(sin(θ) - cos(θ)) Assim, os limites de integração em θ são π/4 e π/2, e os limites de integração em r são 1/(sin(θ) - cos(θ)) e 3/cos(θ). Agora podemos calcular a integral: ∫∫DxydA = ∫π/4^π/2 ∫1/(sin(θ) - cos(θ))^3/3cos(θ) r^3 cos(θ) sin(θ) dr dθ Fazendo as integrações, chegamos ao resultado: ∫∫DxydA = 1/8 (3√2 - 1)