Calcule as coordenadas x e y do centro de massa de um conjunto B, sendo um quadrado delimitado por x = 0, x = 1, y = 0 e y = 1, se a densidade da r...
Cálculo Vetorial e Variáveis Complexas
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Question

Calcule as coordenadas x e y do centro de massa de um conjunto B, sendo um quadrado delimitado por 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1 , se a densidade da região é dada por δ(x, y) = y.

As integrais duplas também são usadas para calcular o centro de massa de objetos sólidos com formas complicadas.
O centro de massa é um ponto que representa o equilíbrio de um objeto em relação a um sistema de coordenadas.
a) 1/2, 2/3
b) 2/3, 1/2
c) 1/4, 1/2
d) 1/2, 1/4
e) 1/3, 1/2

Ed · Answer

Para calcular as coordenadas x e y do centro de massa de um conjunto B, podemos utilizar as seguintes fórmulas:

x = (1/δ) ∬(B) x δ(x,y) dA
y = (1/δ) ∬(B) y δ(x,y) dA

Onde δ(x,y) é a densidade da região, B é o conjunto delimitado por 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1 e dA é o elemento de área.

Substituindo a densidade δ(x,y) = y, temos:

x = (1/δ) ∬(B) x y dA
y = (1/δ) ∬(B) y² dA

Calculando as integrais duplas, temos:

x = 1/2
y = 2/3

Portanto, a alternativa correta é a letra a) 1/2, 2/3.

Calcule as coordenadas x e y do centro de massa de um conjunto B, sendo um quadrado delimitado por 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 1 , se a densidade da reg...

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