9) Um tanque com 500 litros de capacidade contém originalmente 200 litros de água com 100 kg de um certo sal em solução. Um fluxo de água cont...

Para resolver esse problema, podemos utilizar a equação da quantidade de sal no tanque em função do tempo: Q(t) = Q0 + (E - S) * t Onde: - Q(t) é a quantidade de sal no tanque no tempo t - Q0 é a quantidade de sal no tanque no tempo inicial (t = 0) - E é a entrada de sal no tanque (em kg/min) - S é a saída de sal do tanque (em kg/min) - t é o tempo decorrido (em minutos) Podemos calcular Q0 a partir da concentração inicial da solução: C0 = 100 kg / 200 L = 0,5 kg/L Q0 = C0 * V0 = 0,5 kg/L * 200 L = 100 kg Também podemos calcular E e S a partir das vazões de entrada e saída e das concentrações das soluções: E = 1 kg/L * 3 L/min = 3 kg/min S = C(t) * V(t) * (2 L/min / 500 L) = C(t) * 0,004 L/min Onde: - C(t) é a concentração de sal no tanque no tempo t - V(t) é o volume de solução no tanque no tempo t Podemos calcular V(t) a partir da vazão de entrada e da vazão de saída: V(t) = V0 + (E - S) * t Onde: - V0 é o volume de solução no tanque no tempo inicial (t = 0) Podemos substituir as expressões de E, S e V(t) na equação de Q(t) e obter uma equação diferencial de primeira ordem: dQ/dt = 1 - 0,008 * Q Podemos resolver essa equação separando as variáveis e integrando: ∫ dQ / (1 - 0,008 * Q) = ∫ dt ln|1 - 0,008 * Q| = t + C 1 - 0,008 * Q = e^(t+C) Q(t) = (1 - e^(t+C)) / 0,008 Podemos determinar a constante C a partir da condição inicial Q(0) = Q0: C = ln(1 - 0,008 * Q0) C = ln(1 - 0,008 * 100) ≈ -4,615 Portanto, a quantidade de sal no tanque em função do tempo é: Q(t) = (1 - e^(t-4,615)) / 0,008 Para determinar a concentração de sal no tanque quando ele está completamente cheio, podemos calcular o volume máximo de solução no tanque e a quantidade de sal correspondente: Vmax = 500 L Qmax = Cmax * Vmax Onde: - Cmax é a concentração máxima de sal no tanque Podemos calcular Cmax a partir da condição de equilíbrio, em que a entrada de sal é igual à saída de sal: E = S 1 kg/L * 3 L/min = Cmax * 2 L/min Cmax = 1,5 kg/L Portanto, a quantidade máxima de sal no tanque é: Qmax = 1,5 kg/L * 500 L = 750 kg A concentração de sal no tanque quando ele está completamente cheio é: Cmax = Qmax / Vmax = 750 kg / 500 L = 1,5 kg/L Para comparar essa concentração com a concentração limite, podemos calcular a concentração limite a partir da solubilidade do sal na água: S = 200 g/L = 0,2 kg/L Portanto, a concentração limite é de 0,2 kg/L, que é menor do que a concentração máxima de 1,5 kg/L no tanque com capacidade finita. Se o tanque tivesse capacidade infinita, a concentração no equilíbrio seria igual à concentração limite de 0,2 kg/L.