6) Consideremos um reservatório contendo V litros de uma solução salina com concentração de b kg de sal por litro começa a receber, a uma vaz...

(a) Para resolver a equação diferencial dx/dt = (a+c-a-x)/(V+(a+-a-)t), podemos utilizar o método de separação de variáveis. Primeiro, multiplicamos ambos os lados da equação por (V+(a+-a-)t) e dividimos por (a+c-a-x), obtendo: dx/(a+c-a-x) = dt/(V+(a+-a-)t) Em seguida, integramos ambos os lados da equação: ∫dx/(a+c-a-x) = ∫dt/(V+(a+-a-)t) Utilizando a substituição u = a+c-a-x, du/dx = -1, temos: -ln|a+c-a-x| = ln|V+(a+-a-)t| + C Onde C é a constante de integração. Aplicando exponenciação em ambos os lados, temos: |a+c-a-x| = e^(-ln|V+(a+-a-)t|+C) = e^C/(V+(a+-a-)t) Como a concentração de sal não pode ser negativa, podemos remover o módulo, obtendo: a+c-a-x = e^C/(V+(a+-a-)t) Podemos reescrever a constante de integração como C = ln|a+c-a-x| - ln(V+(a+-a-)t), obtendo: a+c-a-x = e^(ln|a+c-a-x| - ln(V+(a+-a-)t))/(V+(a+-a-)t) Simplificando, temos: x = a+c - (a+c-x)e^(-ln|a+c-a-x|+ln(V+(a+-a-)t))/(V+(a+-a-)t) x = a+c - (a+c-x)(V+(a+-a-)t)/|a+c-a-x| (b) No caso em que a+ = a-, a equação diferencial dx/dt = c - x/V tem solução geral x(t) = cV(1-e^(-t/V)). Quando t tende ao infinito, temos que e^(-t/V) tende a zero, e portanto x(t) tende a cV. Isso significa que a concentração de sal no reservatório tende ao valor da solução salina que está sendo adicionada.