7) No instante t = 0 um tanque contém Q0kg de um certo sal dissolvidos em 100 litros de água. Uma
solução de sal e água, com 0, 25kg de sal po...

Question

7) No instante t = 0 um tanque contém Q0kg de um certo sal dissolvidos em 100 litros de água. Uma
solução de sal e água, com 0, 25kg de sal por litro de água, entra no tanque à razão de r litros/minutos
e uma solução homogênea dai do tanque com a mesma vazão. Formule o problema de valor inicial
que descreve este processo (use o exerćıcio anterior). Determine a quantidade de sal Q(t) presentes
no tanque em um dado instante t.
a) Calcule a quantidade de sal depois de um longo peŕıodo, isto é, QL = lim
t→∞
Q(t);
b) Se r = 3 e Q(0) = 5 expresse a quantiddade de sal Q como função apenas de t.
c) Quanto tempo levará para que a quantidade de sal seja de 15 kg?

Ed · Answer

O problema descrito pode ser formulado como:

dQ/dt = r * (0,25 - Q/100)

onde Q(t) é a quantidade de sal no tanque no instante t, r é a taxa de entrada da solução de sal e água em litros por minuto e Q0 é a quantidade inicial de sal no tanque.

Para resolver a equação diferencial, podemos usar o método de separação de variáveis:

dQ/(0,25 - Q/100) = r * dt

Integrando ambos os lados, temos:

-100 * ln(0,25 - Q/100) = rt + C

onde C é a constante de integração.

Aplicando as condições iniciais Q(0) = Q0, temos:

C = -100 * ln(0,25 - Q0/100)

Substituindo C na equação, temos:

-100 * ln(0,25 - Q/100) = rt - 100 * ln(0,25 - Q0/100)

Resolvendo para Q, temos:

Q(t) = 25 * (1 - exp(-rt/100)) + Q0 * exp(-rt/100)

a) Quando t tende ao infinito, exp(-rt/100) tende a zero, então QL = 25 kg.

b) Quando r = 3 e Q(0) = 5, temos:

Q(t) = 25 * (1 - exp(-3t/100)) + 5 * exp(-3t/100)

c) Para Q(t) = 15 kg, temos:

15 = 25 * (1 - exp(-3t/100)) + Q0 * exp(-3t/100)

Resolvendo para t, temos:

t = -100/3 * ln((10 - Q0)/10)

7) No instante t = 0 um tanque contém Q0kg de um certo sal dissolvidos em 100 litros de água. Uma solução de sal e água, com 0, 25kg de sal po...

Edo Calculo III

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Essa pergunta também está no material:

Lista de Equações Diferenciais de Primeira Ordem

Edo Calculo III • Universidade Estadual do MaranhãoUniversidade Estadual do Maranhão

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