Determine e classifique os pontos críticos da função f(x,y) = x^3 - 3xy^2 + y^3.

Para determinar os pontos críticos da função f(x,y) = x^3 - 3xy^2 + y^3, precisamos encontrar as derivadas parciais em relação a x e y e igualá-las a zero. Assim, temos: fx = 3x^2 - 3y^2 = 0 fy = -6xy + 3y^2 = 0 A partir da primeira equação, podemos escrever x^2 = y^2, o que implica em x = y ou x = -y. Substituindo x = y na segunda equação, temos -6y^2 + 3y^2 = 0, o que nos dá y = 0. Substituindo x = -y na segunda equação, temos 6y^2 + 3y^2 = 0, o que nos dá y = 0 ou y = ±√2. Assim, os pontos críticos são: (0,0), (√2, -√2) e (-√2, √2). Para classificar esses pontos, podemos usar o teste da segunda derivada. Calculando as derivadas parciais de segunda ordem, temos: fxx = 6x fxy = -6y fyx = -6y fyy = -6x + 6y Agora, substituindo os pontos críticos na matriz Hessiana, temos: (0,0): H = [0 -6; -6 0], com autovalores λ1 = -6 e λ2 = 6. Como λ1 e λ2 têm sinais opostos, temos um ponto de sela em (0,0). (√2, -√2) e (-√2, √2): H = [12 -6; -6 12], com autovalores λ1 = 6 e λ2 = 18. Como λ1 e λ2 são positivos, temos um mínimo local em (√2, -√2) e um máximo local em (-√2, √2). Portanto, os pontos críticos da função f(x,y) = x^3 - 3xy^2 + y^3 são: (0,0) é um ponto de sela e (√2, -√2) e (-√2, √2) são, respectivamente, um mínimo local e um máximo local.