Questão resolvida - Encontre e classifique os ponto críticos da função f(x,y) xy - UNIVASF

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• Encontre e classifique os ponto críticos da função f x, y = xy.( )
 
Resolução:
 
O (ou os) pontos extermos, em regra, ocorrem quando a derivada da função peso, em 
relação a são iguais a , ou seja;x e y 0
 
= 0 e = 0
𝜕f
𝜕x
𝜕f
𝜕y
 
Vamos, então, encontrar essas derivadas;
 
= y y = 0
𝜕f
𝜕x
→
 
= x x = 0
𝜕f
𝜕y
→
 
Com isso, o ponto é um candidato a ponto críitico, para definir que tipo de ponto crítico 0, 0( )
temos, vamos determinar a matriz Hessina de ;f x, y( )
 
H =f
𝜕 f
𝜕x
2
2
𝜕 f
𝜕x𝜕y
2
𝜕 f
𝜕y𝜕x
2
𝜕 f
𝜕y
2
2
Vamos determinar as derivadas 2°;
 
= y = 0
𝜕f
𝜕x
→
𝜕 f
𝜕x
2
2
 
 
 
= x = 0
𝜕f
𝜕y
→
𝜕 f
𝜕y
2
2
 
= y = 1
𝜕f
𝜕x
→
𝜕 f
𝜕x𝜕y
2
 
= x = 1
𝜕f
𝜕y
→
𝜕 f
𝜕y𝜕x
2
Dessa forma, a matriz Hessiana fica;
 
H =f
0 1
1 0
 
Como os termos da matriz Hessiana são constantes, não há a necessidade de substituir o 
ponto nos termos da matriz. Agora, encontramos seu determinante;0, 0( )
 
 
Como o determinante da Hessiana é menor que zero, se trata de um ponto de sela
 
 
0 1
1 0
DetH = -1 + 0 = -1