(IME 2004) Considere o polinômio ( ) 3P x x ax b= + + , de coeficientes reais com 0b ≠ . Sabendo que suas raízes são reais, demonstrar que 0a < . ...

Para demonstrar que 0a < , podemos utilizar o fato de que as raízes do polinômio são reais. Sejam elas r1, r2 e r3. Pelo Teorema de Viète, temos: r1 + r2 + r3 = 0 r1r2 + r1r3 + r2r3 = a r1r2r3 = -b Como as raízes são reais, podemos escrevê-las na forma r1 ≤ r2 ≤ r3. Assim, temos: r1 + r2 + r3 ≤ 3r3 r1r2 + r1r3 + r2r3 ≤ 3r1r2 r1r2r3 = -b Substituindo na expressão do polinômio, temos: 3P(x) = (x - r1)(x - r2)(x - r3) + a(x - r1)(x - r2) + b(x - r3) Como 0b ≠ , temos que r3 ≠ 0. Dividindo toda a expressão por x - r3, obtemos: 3P(x) = (x - r1)(x - r2)(x - r3) / (x - r3) + a(x - r1)(x - r2) / (x - r3) + b 3P(x) = (x - r1)(x - r2) + a(x - r1)(x - r2) / (x - r3) + b 3P(x) = (x - r1)(x - r2) + a(x - r1)(x - r2) / (-r1 - r2) + b 3P(x) = (x - r1)(x - r2) - a(x - r1)(x - r2) / (r1 + r2) + b 3P(x) = [(r2 - r1) - a(r2 - r1) / (r1 + r2)](x - r1)(x - r2) + b Como r1 ≤ r2, temos que r2 - r1 ≥ 0. Além disso, como as raízes são reais, temos que r1 + r2 ≤ 0. Assim, temos: (r2 - r1) - a(r2 - r1) / (r1 + r2) ≥ r2 - r1 (r2 - r1) - a(r2 - r1) / (r1 + r2) + b ≥ r2 - r1 + b Substituindo na expressão do polinômio, temos: 3P(x) ≥ (x - r1)(x - r2) Como o polinômio é positivo para todo x, temos que seus coeficientes são positivos. Assim, temos: 3a ≥ 0 Logo, 0a < .