No espaço vetorial P3(R) sejam dados os vetores: f(t) = t3-1 ; g(t) = t2 + t –1 e h(t) = t + 2: Calcule: a) 2 f(t) + 3 g(t) – 4 h(t); b) k, real, t...

a) Para calcular 2f(t) + 3g(t) - 4h(t), basta substituir os valores dos vetores dados na expressão e realizar as operações: 2f(t) + 3g(t) - 4h(t) = 2(t³ - 1) + 3(t² + t - 1) - 4(t + 2) = 2t³ - 2 + 3t² + 3t - 3 - 4t - 8 = 2t³ + 3t² - t - 13 Portanto, 2f(t) + 3g(t) - 4h(t) = 2t³ + 3t² - t - 13. b) Para encontrar o valor de k, tal que f(t) + kg(t) = h(t), basta substituir os valores dos vetores dados na expressão e igualar os coeficientes de cada termo: f(t) + kg(t) = h(t) t³ - 1 + k(t² + t - 1) = t + 2 Igualando os coeficientes de t³, temos: 1k = 0 Igualando os coeficientes de t², temos: 1k = 0 Igualando os coeficientes de t, temos: -1k = 1 Igualando os coeficientes constantes, temos: -1k - 2 = 2 Resolvendo o sistema de equações, encontramos: k = 0 -1k = 1 => k = -1 -1k - 2 = 2 => k = -4 Portanto, existem três valores possíveis para k: 0, -1 ou -4. c) Para encontrar os valores de a e b, tais que f(t) = a.g(t) + b.h(t), basta substituir os valores dos vetores dados na expressão e igualar os coeficientes de cada termo: f(t) = a.g(t) + b.h(t) t³ - 1 = a(t² + t - 1) + b(t + 2) Igualando os coeficientes de t³, temos: a = 1 Igualando os coeficientes de t², temos: a + b = 0 Igualando os coeficientes de t, temos: -a + 2b = 0 Igualando os coeficientes constantes, temos: -a + 2b - 1 = 0 Resolvendo o sistema de equações, encontramos: a = 1 a + b = 0 => b = -1 -a + 2b = 0 => a = 2b => a = -2 -a + 2b - 1 = 0 => a = 2b - 1 => a = -1 Portanto, existem dois valores possíveis para a: 1 ou -1, e um valor possível para b: -1.