Determine se as seguintes integrais convergem ou divergem. (a) ∫ ∞ 1 x2 + 2x+ 3 x5 + x4 + 3x2 + 1 dx; (b) ∫ 1 −1 1 x 5 3 dx. (a) (b)

(a) Para determinar se a integral converge ou diverge, podemos usar o critério de comparação. Observe que o denominador da fração dentro da integral é maior ou igual a x^5. Portanto, podemos comparar a integral dada com a integral ∫∞1 1/x^5 dx. Esta última integral converge, pois p = 5 > 1. Portanto, a integral dada também converge. (b) A integral dada é uma integral imprópria de segunda espécie, pois o integrando é infinito em x = 0. Podemos calcular a integral como limite de uma integral definida em um intervalo simétrico em torno de 0. Assim, temos: ∫1−11/x^53dx = limt→0+ ∫1t1/x^53dx + limt→0− ∫t−11/x^53dx Para a primeira integral, podemos fazer a substituição u = 1/x^3, du = -3/x^4 dx, e obtemos: ∫1t1/x^53dx = -1/2 ∫1/t^3 1/u du = -1/2 [ln|u|]1/t = -1/2 ln(t^3) Para a segunda integral, podemos fazer a substituição u = -1/x^3, du = 3/x^4 dx, e obtemos: ∫t−11/x^53dx = 1/2 ∫t−1−1/x^53dx = 1/2 [ln|u|]−1/t−1 = 1/2 ln(t^3+1) Portanto, a integral dada converge e seu valor é: ∫1−11/x^53dx = limt→0+ [-1/2 ln(t^3)] + limt→0− [1/2 ln(t^3+1)] = ln(2)/2