Calcule as seguintes integrais: (a) ∫ 2 1 x 3 2 lnx dx; [1, 0] (b) ∫ sen3x cos2 xdx; [1, 0] (c) ∫ 2x3 + 1 x(x2 + 1)2 dx. [2, 0] (a) (b) (c)

(a) Para calcular a integral ∫2¹ x^(3/2) ln(x) dx, podemos usar integração por partes. Fazendo u = ln(x) e dv = x^(3/2) dx, temos du = 1/x dx e v = (2/5) x^(5/2). Então: ∫2¹ x^(3/2) ln(x) dx = uv - ∫2¹ v du = (2/5) x^(5/2) ln(x) - ∫2¹ (2/5) x^(5/2) (1/x) dx = (2/5) x^(5/2) ln(x) - (4/5) ∫2¹ x^(3/2) dx = (2/5) x^(5/2) ln(x) - (8/15) x^(3/2) |2¹ = (2/5) (2^(5/2) - 1) ln(2) - (8/15) (2^(3/2) - 1) (b) Para calcular a integral ∫sen(3x) cos(2x) dx, podemos usar a fórmula de integração por partes para o produto de duas funções. Fazendo u = sen(3x) e dv = cos(2x) dx, temos du = 3 cos(3x) dx e v = (1/2) sen(2x). Então: ∫sen(3x) cos(2x) dx = uv - ∫v du = (1/2) sen(3x) sen(2x) - (3/2) ∫cos(3x) sen(2x) dx = (1/2) sen(3x) sen(2x) - (3/2) [(1/3) cos(3x) (-1/2) cos(2x) - (1/2) ∫(-1/2) sen(2x) (-3/2) sen(3x) dx] = (1/2) sen(3x) sen(2x) + (1/4) cos(3x) cos(2x) - (9/4) ∫sen(3x) sen(2x) dx Agora, podemos somar ∫sen(3x) cos(2x) dx em ambos os lados da equação e obter: (13/4) ∫sen(3x) cos(2x) dx = (1/2) sen(3x) sen(2x) + (1/4) cos(3x) cos(2x) Então: ∫sen(3x) cos(2x) dx = (2/13) sen(3x) sen(2x) + (1/26) cos(3x) cos(2x) + C (c) Para calcular a integral ∫(2x^3 + 1)/(x^2 + 1)^2 dx, podemos usar a técnica de frações parciais. Primeiro, dividimos o polinômio no numerador pelo polinômio no denominador: (2x^3 + 1)/(x^2 + 1)^2 = A/(x^2 + 1) + B/(x^2 + 1)^2 Multiplicando ambos os lados por (x^2 + 1)^2, temos: 2x^3 + 1 = A(x^2 + 1) + B Substituindo x = 0, obtemos B = 1. Substituindo x = sqrt(2)i, obtemos A = -1/4. Então: ∫(2x^3 + 1)/(x^2 + 1)^2 dx = ∫(-1/4)/(x^2 + 1) dx + ∫1/(x^2 + 1)^2 dx = (-1/4) arctan(x) - (1/2) (x/(x^2 + 1)) + C Substituindo os limites de integração, obtemos: ∫2^0 (2x^3 + 1)/(x^2 + 1)^2 dx = (-1/4) arctan(0) - (1/2) (0/(0^2 + 1)) - ((-1/4) arctan(2) - (1/2) (sqrt(2)/(2^2 + 1))) = (1/4) arctan(2) - (1/4) π/4.