39.Calcule 2 2 C (x y z)ds+−∫, onde C é a hélice circular dada através das equações paramétricas: x(t) = cost, y(t) = sent e z(t) = t do ponto P(1,...

Para calcular a integral de linha ∫C (x y z) ds, onde C é a hélice circular dada pelas equações paramétricas x(t) = cos(t), y(t) = sen(t) e z(t) = t, do ponto P(1, 0, 0) até o ponto Q(1, 0, 2π), podemos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar a derivada das funções x(t), y(t) e z(t): x'(t) = -sen(t) y'(t) = cos(t) z'(t) = 1 2. Calcular o vetor tangente T(t) = (x'(t), y'(t), z'(t)): T(t) = (-sen(t), cos(t), 1) 3. Calcular o módulo do vetor tangente: |T(t)| = √(sen²(t) + cos²(t) + 1) = √2 4. Calcular o vetor normal unitário N(t) = T(t)/|T(t)|: N(t) = (-sen(t)/√2, cos(t)/√2, 1/√2) 5. Calcular o vetor binormal unitário B(t) = T(t) x N(t): B(t) = (-cos(t)/√2, -sen(t)/√2, 0) 6. Escrever a integral de linha em termos dos parâmetros t: ∫C (x y z) ds = ∫[0, 2π] (cos(t)sen(t) + t) |T(t)| dt 7. Substituir as expressões para x(t), y(t), z(t) e |T(t)|: ∫C (x y z) ds = ∫[0, 2π] (cos(t)sen(t) + t) √2 dt 8. Resolver a integral: ∫C (x y z) ds = [sen(t)cos(t) + t²/2]√2 |[0, 2π] ∫C (x y z) ds = (2π² - 1)√2 Portanto, a integral de linha ∫C (x y z) ds é igual a (2π² - 1)√2.