Calcular ∫c fds em que r é a hélice definida por r(t)=(sent,cost,t), t∈[0,2π] e F o campo vetorial definido por F(x,y,z)=(x,y,z). 3π23�2 2π22�2 2...

Para calcular a integral ∫c F · ds, onde r é a hélice definida por r(t) = (sen(t), cos(t), t) para t ∈ [0, 2π] e F é o campo vetorial definido por F(x, y, z) = (x, y, z), podemos usar a fórmula da integral de linha: ∫c F · ds = ∫[a,b] F(r(t)) · r'(t) dt Primeiro, vamos calcular r'(t): r'(t) = (cos(t), -sen(t), 1) Agora, vamos substituir r(t) e r'(t) na fórmula da integral de linha: ∫c F · ds = ∫[0,2π] F(r(t)) · r'(t) dt = ∫[0,2π] (sen(t), cos(t), t) · (cos(t), -sen(t), 1) dt = ∫[0,2π] (sen(t)cos(t) + cos(t)(-sen(t)) + t) dt = ∫[0,2π] (t) dt A integral de t em relação a t é: ∫[0,2π] t dt = [t²/2] de 0 a 2π = (2π)²/2 - (0)²/2 = 2π² Portanto, a integral ∫c F · ds é igual a 2π².