40.Calcule: 2 2 C (3x y )dx 2xydy+∫ ao longo do arco circular C dado por x = cost, y = sent (0 ≤ t ≤ π/2 )

Essa é uma questão de cálculo multivariável que envolve integrais de linha. Primeiramente, vamos encontrar as derivadas parciais de 3x - y em relação a x e y: ∂(3x - y)/∂x = 3 ∂(3x - y)/∂y = -1 Agora, vamos calcular a integral de linha ao longo do arco circular C: ∫C (2x + 3y)dx + (3x - y)dy Substituindo x = cos(t) e y = sin(t), temos: dx = -sin(t)dt e dy = cos(t)dt Assim, a integral de linha se torna: ∫(0 to π/2) [(2cos(t) + 3sin(t))(-sin(t)) + (3cos(t) - sin(t))(cos(t))]dt Resolvendo a integral, obtemos: = ∫(0 to π/2) (-2cos(t)sin(t) - 3sin^2(t) + 3cos^2(t) - sin(t)cos(t))dt = ∫(0 to π/2) (3cos^2(t) - 2cos(t)sin(t) - 3sin^2(t))dt = ∫(0 to π/2) (cos(2t) - 2sin(2t)/2 - 3/2)dt = [1/2 sin(2t) - cos(2t) - 3/2 t] (0 to π/2) = (1/2 - 0 - 0) - (0 - 1 - 0) - (3π/4 - 0) = -1 - 3π/4 Portanto, a resposta é -1 - 3π/4.