Resolva a equaçao diferencial (x2-3y2)dx +2xydy = 0, x > 0 e y > 0.

Para resolver a equação diferencial (x²-3y²)dx +2xydy = 0, podemos utilizar o método de separação de variáveis. Começamos separando as variáveis x e y em lados opostos da equação: (x²-3y²)dx = -2xydy Em seguida, dividimos ambos os lados da equação por x²y: (x²-3y²)/(x²y) dx = -2/y dy Agora, podemos integrar ambos os lados da equação em relação às suas variáveis: ∫(x²-3y²)/(x²y) dx = -∫2/y dy Para a integral do lado esquerdo, podemos utilizar a técnica de substituição u = x/y, o que nos leva a du/dx = (y-x²/y²)/x². Substituindo na integral, temos: ∫(x²-3y²)/(x²y) dx = ∫(1/u² - 3) du = -1/u - 3u + C = -y/x - 3x/y + C Para a integral do lado direito, temos: -∫2/y dy = -2ln(y) + D Juntando as duas integrais, temos: -y/x - 3x/y = 2ln(y) + E Onde C e D são constantes de integração e E é a constante resultante da soma de C e D. Essa é a solução geral da equação diferencial.