47. Calcule 2 2 C (3x y )dx 2xydy+∫ ao longo do arco circular C dado por x = cost, y = sent (0 ≤ t ≤ π/2)

Essa é uma questão de cálculo multivariável que envolve o Teorema de Green. Primeiro, precisamos encontrar a curva C em termos de t: x = cos(t) y = sin(t) Agora, podemos calcular as derivadas parciais de M = 2x^2y e N = 3xy^2 em relação a x e y, respectivamente: ∂M/∂x = 4xy ∂N/∂y = 6xy Substituindo na fórmula do Teorema de Green, temos: ∫∫R (6xy - 4xy) dA Onde R é a região delimitada pela curva C. Podemos reescrever a integral acima como: ∫∫R 2xy dA Agora, precisamos encontrar os limites de integração para x e y. Como a curva C é um arco circular que vai de 0 a π/2, temos: 0 ≤ x ≤ cos(π/2) = 0 0 ≤ y ≤ sin(π/2) = 1 Assim, a integral se torna: ∫ de 0 até π/2 ∫ de 0 até 1 2xy dy dx Integrando em relação a y primeiro, temos: ∫ de 0 até π/2 x dx = [x^2/2] de 0 até π/2 = π^2/8 Portanto, a resposta é π^2/8.