16- (2-98,pf) Resolva cada uma das seguintes equações diferenciais ou problemas de valor inicial abaixo: (a) (1, 0 pts) y′ + 2xy = 2xex2. (b) (1,...

(a) Para resolver a equação diferencial y′ + 2xy = 2xex2, podemos utilizar o fator integrante e^(x^2). Multiplicando ambos os lados da equação por esse fator integrante, obtemos: e^(x^2)y′ + 2xe^(x^2)y = 2x Agora, podemos aplicar a regra do produto para obter: (d/dx)(e^(x^2)y) = 2x Integrando ambos os lados em relação a x, temos: e^(x^2)y = x^2 + C onde C é a constante de integração. Portanto, a solução geral da equação diferencial é: y = (x^2 + C)e^(-x^2) (b) Para resolver a equação diferencial y′ − 2y = e^(2x), com y(0) = 2, podemos utilizar o fator integrante e^(-2x). Multiplicando ambos os lados da equação por esse fator integrante, obtemos: e^(-2x)y′ − 2e^(-2x)y = 1 Agora, podemos aplicar a regra do produto para obter: (d/dx)(e^(-2x)y) = e^(2x) Integrando ambos os lados em relação a x, temos: e^(-2x)y = (1/2)e^(2x) + C onde C é a constante de integração. Substituindo y(0) = 2, obtemos: e^0(2) = (1/2)e^0 + C C = 3/2 Portanto, a solução geral da equação diferencial é: y = (1/2)e^(2x) + (3/2)e^(-2x) (c) Para resolver a equação diferencial y′ = e^(-x) − e^(x/3) + 4y, com y(0) = 1, podemos utilizar o método da variação das constantes. Primeiro, encontramos a solução da equação homogênea y′ - 4y = 0, que é yh = Ce^(4x). Em seguida, encontramos uma solução particular yp da equação não homogênea. Suponha que yp seja da forma yp = Ae^(-x) + Be^(x/3). Então, temos: yp′ = -Ae^(-x) + (1/3)Be^(x/3) Substituindo yp e yp′ na equação diferencial, obtemos: -Ae^(-x) + (1/3)Be^(x/3) = e^(-x) − e^(x/3) + 4(Ae^(-x) + Be^(x/3)) Simplificando, temos: (4A - 1)e^(-x) + (4B - 1/3)e^(x/3) = e^(-x) − e^(x/3) Igualando os coeficientes de e^(-x) e e^(x/3), obtemos o sistema de equações: 4A - 1 = 1 4B - 1/3 = -1 Resolvendo esse sistema, obtemos: A = 1/2 B = -1/12 Portanto, a solução geral da equação diferencial é: y = Ce^(4x) + (1/2)e^(-x) - (1/12)e^(x/3) Substituindo y(0) = 1, obtemos: C + (1/2) - (1/12) = 1 C = 5/12 Portanto, a solução da equação diferencial com y(0) = 1 é: y = (5/12)e^(4x) + (1/2)e^(-x) - (1/12)e^(x/3) (d) Para resolver a equação diferencial y′′ + 4y = x^2, podemos utilizar o método da solução particular. Suponha que yp seja da forma yp = Ax^2 + Bx + C. Então, temos: yp′′ = 2A Substituindo yp e yp′′ na equação diferencial, obtemos: 2A + 4(Ax^2 + Bx + C) = x^2 Simplificando, temos: 4Ax^2 + 4Bx + (2A + 4C) = x^2 Igualando os coeficientes de x^2 e x, obtemos o sistema de equações: 4A = 1 4B = 0 2A + 4C = 0 Resolvendo esse sistema, obtemos: A = 1/4 B = 0 C = -1/8 Portanto, a solução particular da equação diferencial é: yp = (1/4)x^2 - (1/8) A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea yh = Acos(2x) + Bsin(2x) com a solução particular yp: y = Acos(2x) + Bsin(2x) + (1/4)x^2 - (1/8)