Calcule L {f(t)}, ou L −1{F (s)}, conforme seja o caso: (a) (1, 0 pts) f(t) = t− (t− 1)u1(t). (b) (1, 0 pts) F (s) = 2s− 3/s2 − 1. (c) (1, 0 pts) f...

(a) Para calcular L{f(t)}, aplicamos a definição da transformada de Laplace: L{f(t)} = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt Substituindo f(t) = t - (t-1)u1(t), temos: L{f(t)} = ∫[0,∞] e^(-st) (t - (t-1)u1(t)) dt Lembrando que u1(t) é a função degrau unitário, que vale 1 para t >= 0 e 0 para t < 0, podemos separar a integral em duas partes: L{f(t)} = ∫[0,∞] e^(-st) t dt - ∫[0,∞] e^(-st) (t-1)u1(t) dt A primeira integral pode ser resolvida por integração por partes: ∫[0,∞] e^(-st) t dt = [-t e^(-st)/s] [0,∞] + ∫[0,∞] e^(-st)/s dt = 0 + 1/s^2 A segunda integral pode ser resolvida por mudança de variável: ∫[0,∞] e^(-st) (t-1)u1(t) dt = ∫[1,∞] e^(-st) (t-1) dt = [-e^(-st) (t-1)/s] [1,∞] = 1/s - e^(-s)/s Portanto, L{f(t)} = 1/s^2 + 1/s - e^(-s)/s. (b) Para calcular L^-1{F(s)}, aplicamos a definição da transformada inversa de Laplace: L^-1{F(s)} = (1/2πj) ∫[γ-j∞,γ+j∞] e^(st) F(s) ds Onde γ é uma reta vertical que separa todos os polos de F(s) à esquerda e à direita. No caso de F(s) = 2s-3/(s^2-1), temos dois polos em s = ±1. Escolhemos γ = 0 para que os polos fiquem à direita da reta. Para resolver a integral, precisamos decompor F(s) em frações parciais: F(s) = 2s-3/(s^2-1) = (2s-3)/[(s-1)(s+1)] = A/(s-1) + B/(s+1) = (A+B)s + (-A+B) Igualando os coeficientes, temos: A + B = 2 -A + B = -3 Resolvendo o sistema, encontramos A = -1 e B = 3. Portanto: F(s) = -1/(s-1) + 3/(s+1) Substituindo na fórmula da transformada inversa, temos: L^-1{F(s)} = (1/2πj) ∫[γ-j∞,γ+j∞] e^(st) (-1/(s-1) + 3/(s+1)) ds = (-1/2πj) ∫[γ-j∞,γ+j∞] e^(st)/(s-1) ds + (3/2πj) ∫[γ-j∞,γ+j∞] e^(st)/(s+1) ds As duas integrais podem ser resolvidas usando a fórmula da transformada de Laplace para e^at: L{e^at} = 1/(s-a) Portanto: L^-1{F(s)} = (-1/2πj) L{e^t}/(s-1) ds + (3/2πj) L{e^(-t)}/(s+1) ds = (-1/2πj) ∫[γ-j∞,γ+j∞] e^(s-1)t ds + (3/2πj) ∫[γ-j∞,γ+j∞] e^(s+1)(-t) ds = (-1/2πj) [1/(s-1)] [e^(s-1)t] [γ-j∞,γ+j∞] + (3/2πj) [-1/(s+1)] [e^(s+1)(-t)] [γ-j∞,γ+j∞] = (-1/2πj) [e^(γ-1)t/(γ-1)] - (3/2πj) [e^(γ+1)(-t)/(γ+1)] = (-1/2πj) [e^(γ-1)t/(γ-1)] + (3/2πj) [e^(γ+1)t/(γ+1)] Portanto, L^-1{F(s)} = (-e^(-t) + 3e^t)/2.