30- (1984-1 Resolva o problema de valor inicial y′′ − y′ − 6y = x3, y(0) = 0, y′(0) = 0.

Para resolver esse problema de valor inicial, podemos seguir os seguintes passos: 1. Encontrar a equação característica: r^2 - r - 6 = 0 2. Encontrar as raízes da equação característica: r1 = 3 e r2 = -2 3. Escrever a solução geral da equação homogênea: yh(x) = c1*e^(3x) + c2*e^(-2x) 4. Encontrar uma solução particular da equação não homogênea: yp(x) = (1/36)*x^3 - (1/18)*x 5. Escrever a solução geral da equação não homogênea: y(x) = yh(x) + yp(x) 6. Aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de c1 e c2: y(0) = c1 + c2 = 0 y'(0) = 3c1 - 2c2 - (1/18) = 0 7. Resolver o sistema de equações para encontrar os valores de c1 e c2: c1 = 1/6 c2 = -1/6 8. Escrever a solução final da equação diferencial: y(x) = (1/6)*e^(3x) - (1/6)*e^(-2x) + (1/36)*x^3 - (1/18)*x Portanto, a solução do problema de valor inicial y′′ − y′ − 6y = x3, y(0) = 0, y′(0) = 0 é y(x) = (1/6)*e^(3x) - (1/6)*e^(-2x) + (1/36)*x^3 - (1/18)*x.