27- (1994-1) Resolva o seguinte problema de valor inicial: y′′ + 2y′ + 2y = u2(t); y(0) = 0, y′(0) = 1.

Para resolver esse problema de valor inicial, podemos utilizar o método da transformada de Laplace. Primeiramente, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação: L{y''} + 2L{y'} + 2L{y} = L{u^2(t)} Substituindo as condições iniciais, temos: L{y(0)} = 0 L{y'(0)} = 1 Aplicando as propriedades da transformada de Laplace, temos: s^2Y(s) - sy(0) - y'(0) + 2sY(s) - 2y(0) + 2Y(s) = L{u^2(t)} Simplificando e substituindo as condições iniciais, temos: s^2Y(s) + 2sY(s) + 2Y(s) = L{u^2(t)} + 1 Fatorando Y(s), temos: Y(s) = [L{u^2(t)} + 1] / (s^2 + 2s + 2) Para encontrar a solução y(t), precisamos aplicar a transformada inversa de Laplace em Y(s). No entanto, a expressão acima não pode ser simplificada facilmente. Portanto, a solução final pode ser encontrada por meio de métodos numéricos ou aproximações.