Aplique o Teorema 2.4.2 ao problema de valor inicial y' = y^(1/3), y(0) = 0 para t > 0. Depois, resolva o problema.

O Teorema 2.4.2 do livro "Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno" de Boyce e DiPrima afirma que se f e ∂f/∂y são contínuas em um retângulo fechado R = { (t,y) | 0 ≤ t ≤ a, -∞ < y < ∞ } que contém o ponto (t0, y0), então existe um intervalo I contendo t0 e uma única solução y = φ(t) do problema de valor inicial y' = f(t,y), y(t0) = y0 em I. Aplicando o teorema ao problema y' = y^(1/3), y(0) = 0, temos que f(t,y) = y^(1/3) e ∂f/∂y = (1/3)y^(-2/3), que são contínuas em todo R. Portanto, existe uma única solução φ(t) definida em um intervalo I contendo t0 = 0. Para resolver o problema, podemos separar as variáveis e integrar ambos os lados da equação y' = y^(1/3): dy/y^(1/3) = dt Integrando, temos: 3/2 * y^(2/3) = t + C onde C é a constante de integração. Usando a condição inicial y(0) = 0, temos: 3/2 * 0^(2/3) = 0 + C C = 0 Portanto, a solução do problema de valor inicial y' = y^(1/3), y(0) = 0 é dada por: y^(2/3) = (2/3)t y = (2/3)^(3/2) * t^(3/2) para t > 0.