Considere a função periódica f, de período 2π definida por f(x) = |x|, −π ≤ x ≤ π. (a) (1,0 pts) Verifique (com detalhes) que a expansão em série d...

(a) Para encontrar a expansão em série de Fourier de f, precisamos calcular os coeficientes a0, an e bn. Como f é uma função ímpar, temos que a0 = 0 e an = 0 para todo n inteiro. O coeficiente bn é dado por: bn = (1/π) ∫(−π até π) f(x) sin(nx) dx Para n ímpar, temos: bn = (2/π) ∫(0 até π) x sin(nx) dx = (2/π) [−x cos(nx)](0 até π) + (2/nπ) ∫(0 até π) cos(nx) dx = (4/πn²) [1 − cos(nπ)] Para n par, temos: bn = (2/π) ∫(0 até π) x sin(nx) dx = (2/π) [x cos(nx)](0 até π) − (2/nπ) ∫(0 até π) cos(nx) dx = 0 Portanto, a expansão em série de Fourier de f é dada por: f(x) = π/2 - 4/π ∑(k=1 até infinito) 1/(2k-1)² cos((2k-1)x) (b) Para mostrar que ∑(k=1 até infinito) 1/(2k-1)² = π²/8, basta substituir a expressão da parte (a) na série e usar a identidade trigonométrica cos²(x) = (1 + cos(2x))/2. Temos: f(x) = π/2 - 4/π ∑(k=1 até infinito) 1/(2k-1)² cos((2k-1)x) = π/2 - 4/π ∑(k=1 até infinito) [1/(2k-1)² (1 + cos(2(2k-1)x))/2] = π/2 - 2/π ∑(k=1 até infinito) [1/(2k-1)² + 1/((2k-1)²) cos(2(2k-1)x)] Igualando as expressões para f(x) e π/4, temos: π/4 = π/2 - 2/π ∑(k=1 até infinito) 1/(2k-1)² ∑(k=1 até infinito) 1/(2k-1)² = π²/8 (c) Usando a igualdade de Parseval, temos: (1/π) ∫(−π até π) f²(x) dx = π/2 - 4/π ∑(k=1 até infinito) 1/(2k-1)² Como f(x) = |x|, temos: (1/π) ∫(−π até π) f²(x) dx = (1/π) ∫(−π até π) x² dx = 2/3 π³ Substituindo na equação acima, temos: 2/3 π³ = π/2 - 4/π ∑(k=1 até infinito) 1/(2k-1)² ∑(k=1 até infinito) 1/(2k-1)⁴ = (π⁴ - 96)/96