11- ( 1-94,pe) Dada a equação y′ = 3y3: 1. Onde o teorema de existência e unicidade é válido? 2. Verifique que as funções u(x) = x3 e v(x) =...

1. O teorema de existência e unicidade de soluções é válido em qualquer intervalo que contenha o ponto inicial da EDO, neste caso, x=0. 2. Para verificar que u(x) = x³ é solução da EDO, basta substituir na equação e verificar se a igualdade é satisfeita: y' = 3y³ = 3(x³)³ = 3x⁹ = u'(x). De forma análoga, para v(x) = 0, temos y' = 3y³ = 3(0)³ = 0 = v'(x). 3. O problema de valor inicial y' = 3y³, y(0) = 0, não tem solução única, pois a solução geral da EDO é y(x) = 1/(Cx²), onde C é uma constante determinada pela condição inicial. Como y(0) = 0, temos C = 0 e, portanto, y(x) = 0 é uma solução. Além disso, a solução y(x) = 1/(Cx²) não é única, pois existem infinitas constantes C que satisfazem a condição inicial. Portanto, o resultado do item 3 é diferente do resultado do item 1, pois o teorema de existência e unicidade não é válido para este problema de valor inicial.