Seja f a função periódica de período 2π definida por: f(x) = { 0, −π ≤ x < 0, sen(x), 0 ≤ x < π. (a) (1,0 pts) Calcule a expansão em série de Fouri...

(a) Para calcular a expansão em série de Fourier de f, precisamos primeiro calcular os coeficientes a0, an e bn. Temos: a0 = (1/π) ∫[−π,π] f(x) dx = (1/π) [∫[−π,0] 0 dx + ∫[0,π] sen(x) dx] = (1/π) [0 - cos(x)]|0,π = (1/π) [1 - (-1)] = 2/π an = (1/π) ∫[−π,π] f(x) cos(nx) dx = (1/π) [∫[−π,0] 0 cos(nx) dx + ∫[0,π] sen(x) cos(nx) dx] = (1/π) [0 - (1/n) cos(nx)]|0,π = (1/πn) [cos(nπ) - 1] bn = (1/π) ∫[−π,π] f(x) sen(nx) dx = (1/π) [∫[−π,0] 0 sen(nx) dx + ∫[0,π] sen(x) sen(nx) dx] = (1/π) [0 - (1/n) cos(nx)]|0,π = (1/πn) [sen(nπ) - 0] Portanto, a expansão em série de Fourier de f é dada por: f(x) = (2/π) + ∑[n=1 até infinito] [(1/πn) (cos(nπ) - 1) cos(nx) + (1/πn) sen(nπ) sen(nx)] (b) Para calcular ∑[n=1 até infinito] an, basta observar que an = 0 para todo n, exceto para n = 1, onde an = 2/π. Portanto: ∑[n=1 até infinito] an = an = 2/π (c) Para calcular ∑[n=1 até infinito] (a²n + b²n), basta usar as expressões para an e bn obtidas em (a): a²n + b²n = [(1/πn) (cos(nπ) - 1)]² + [(1/πn) sen(nπ)]² = (1/π²n²) [(cos(nπ) - 1)² + sen²(nπ)] = (1/π²n²) [1 - 2cos(nπ) + cos²(nπ) + sen²(nπ)] = (1/π²n²) [2 - 2cos(nπ)] = (4/π²n²) para n ímpar e 0 para n par Portanto: ∑[n=1 até infinito] (a²n + b²n) = (4/π²) ∑[n=1 até infinito] (1/n²) para n ímpar = (4/π²) [(1/1²) + (1/3²) + (1/5²) + ...]